1. Cho tam giác nhọn ABC , hai đường cao BD và CE . Cm 4 điểm B, D , C,E cùng thuộc 1 đường tròn , hãy xác định tâm .
2. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH =2cm , BC =8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt AH kéo dài tại D .
a) Cm 2 điểm B, C thuộc đường tròn , đường kính AD
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 16. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm O và vẽ đường tròn đó.
b) Vẽ dây EK vuông góc với BC. Chứng minh EK song song với AH.
c) Gọi I là trung điểm AH. Chứng minh: ID là tiếp tuyến của (O)
dùng kiến thức từ lớp 6 đến học kì I lớp 9 ở Việt Nam ko dùng kiến thức chứng minh tứ giác nội tiếp, góc nội tiếp và ngoại tiếp và tính chất của đường cao và đồng quy trong tam giác. làm ra luôn không cần hướng dẫn
P/S: Tính chất đường cao và đồng quy trong tam giác đã học từ năm lớp 7 rồi nha bạn
a: Ta có: ΔBEC vuông tại E
=>ΔBEC nội tiếp đường tròn đường kính BC(1)
Ta có: ΔBDC vuông tại D
=>ΔBDC nội tiếp đường tròn đường kính BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra B,E,D,C cùng nằm trên đường tròn đường kính BC
Tâm O là trung điểm của BC
b: Xét ΔABC có
BD,CE là các đường cao
BD cắt CE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại M
Ta có: AH\(\perp\)BC
EK\(\perp\)BC
Do đó: AH//EK
c: Ta có: ΔAHD vuông tại D
mà DI là đường trung tuyến
nên ID=IH
=>ΔIDH cân tại I
=>\(\widehat{IHD}=\widehat{IDH}\)
mà \(\widehat{IHD}=\widehat{BHM}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{BHM}=\widehat{BCD}\left(=90^0-\widehat{DBC}\right)\)
nên \(\widehat{IDH}=\widehat{BCD}\)
Ta có: OD=OB
=>ΔODB cân tại O
=>\(\widehat{ODB}=\widehat{OBD}=\widehat{CBD}\)
Ta có: \(\widehat{IDO}=\widehat{IDH}+\widehat{ODB}\)
\(=\widehat{DBC}+\widehat{DCB}\)
=90 độ
=>ID là tiếp tuyến của (O)
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AH và BD, I là trực tâm, AH=8cm, BC=6cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH tại E.
a) CM các điểm B, C, A, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Tính độ dài AE.
c) CM HD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AI.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH =2cm , BC =8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt AH kéo dài tại D .
a) Cm 2 điểm B, C thuộc đường tròn , đường kính AD
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH=2cm,BC=8cm.Đường vuông góc vs AC tại C cắt đường thẳng AH tại D
a, CM tam giác ABD= tam giác ACD
b, CM 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc 1 đường tròn
c, tính AB
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AH, kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn tâm A ( D, E là các tiếp điểm khác H). CMR:
a, 3 điểm D, A, E thẳng hàng
b, Biết BH=2cm, HC=8cm hãy tính DE
c, Góc DHE =90 độ
d, DE tiếp xú với đường tròn có đường kính BC
a) Gọi O là trung điểm của AD
mà AD là đường kính
nên O là tâm của đường tròn đường kính AD
hay OA=OD=R
Ta có: ΔACD vuông tại C(AC⊥CD)
mà CO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD(O là trung điểm của AD)
nên \(CO=\dfrac{AD}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(OA=OD=\dfrac{AD}{2}\)(O là trung điểm của AD)
nên OC=OA=OD(1)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
mà AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)
nên AH là đường phân giác ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)
\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)
hay \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)
Xét ΔABD và ΔACD có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)(cmt)
AD chung
Do đó: ΔABD=ΔACD(c-g-c)
⇒\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{ACD}=90^0\)(AC⊥CD)
nên \(\widehat{ABD}=90^0\)
hay AB⊥BD
Ta có: ΔABD vuông tại B(AB⊥BD)
mà BO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD(O là trung điểm của AD)
nên \(BO=\dfrac{AD}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(AO=OD=\dfrac{AD}{2}\)(O là trung điểm của AD)
nên OB=OD=OA(2)
Từ (1) và (2) suy ra OB=OC=R
⇒B,C cùng thuộc đường tròn(O)
hay B,C cùng thuộc đường tròn đường kính AD(đpcm)
cho tam giác ABC cân tại A (A<90), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a. Chứng minh bốn điểm A,D,H,E cùng thuộc đường tròn, xác định tâm Ovaf vẽ đường tròn này.
b. Gọi K là giao điểm cảu AO và BC, Chứng minh KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
a: góc ADH+góc AEH=180 độ
=>ADHE nội tiếp
O là trung điểm của AH
b:
XetΔACB có
BD,CE là đường cao
BD căt CE tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc BC
=>K là trung điểm của CB
góc ODK=góc ODH+góc KDH
=góc BHK+góc KBH=90 độ
=>KD là tiếp tuyến của (O)
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) , vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC tại D và E, CD cắt BE tại H. a) Chứng minh AH vuông góc BC. b) Chứng minh 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường đường tròn, xác định tâm I của đường tròn qua 4 điểm. c) Chứng minh 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc 1 đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đi qua 4 điểm d) Chứng minh OI vuông góc với DE
a:
góc BDC=góc BEC=1/2*sđ cung BC=90 độ
=>CD vuông góc AB và BE vuông góc AC
Xét ΔABC có
CD,BE là đường cao
CD cắt BE tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc BC
b: góc AEH+góc ADH=180 độ
=>AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>I là trung điểm của AH
c: góc BDC=góc BEC=90 độ
=>BDEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>O là trung điểm của BC
d: ID=IE
OD=OE
=>OI là trung trực của DE
=>OI vuông góc DE
