Lời giải:

Từ điều kiện

\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Rightarrow abc(a+b+c)=ab+bc+ac\)

Sử dụng hệ quả của BĐT AM-GM:

\((ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)\Rightarrow \frac{(ab+bc+ac)^2}{3}\geq ab+bc+ac\)

Suy ra \(ab+bc+ac\geq 3\). Do đó:

\(\text{VP}\leq \sqrt{a^2+ab+bc+ac}+\sqrt{b^2+ab+bc+ac}+\sqrt{c^2+ab+bc+ac}\)

\(\Leftrightarrow \text{VP}\leq \sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(b+c)(b+a)}+\sqrt{(c+a)(c+b)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{a+b+a+c}{2}\) và tương tự....

\(\Rightarrow \text{VP}\leq \frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+c+b+a}{2}+\frac{c+a+c+b}{2}=2(a+b+c)=\text{VT}\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

\(a+b+c=3\Rightarrow b=3-a-c\)

\(\Leftrightarrow a+a\left(3-a-c\right)+2ac\left(3-a-c\right)\le\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow f\left(a\right)=\left(2c+1\right)a^2+\left(2c^2-5c-4\right)a-\frac{9}{2}\ge0\)

thấy f(a) là một tam thức bậc 2 của a có hệ số a²>=0 và lại có

\(\Delta=\left(2c^2-5c-4\right)^2-48\left(2c+1\right)=\left(2c-1\right)^2\left(c^2-4c-2\right)\le0\)

đúng do 0=<c=<3

=> f(a) >=0

dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{3}{2};b=1;c=\frac{1}{2}\)

a)với mọi a,b,c,d là phân số đều sai hết

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\dfrac{a^6}{a^3+a^2b+ab^2}+\dfrac{b^6}{b^3+b^2c+bc^2}+\dfrac{c^6}{c^3+ac^2+a^2c}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2+b^3+b^2c+bc^2+c^3+ac^2+a^2c}\)

\(=\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\). Cần chứng minh BĐT

\(\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Lại xài BĐT Holder ta có:

\(\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Rightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{3}\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge a^2+b^2+c^2\)

BĐT cuối nên ta có cả bài này sai. Ai có cách khác hay soi lỗi hộ thì tks trước :v

@Xuân Tuấn Trịnh và những bạn khác nữa giúp mình đi

Nguyễn Huy Tú,nguyen van tuan,

thtfgfgfghggggggggggggggggggggg

Ta có: \(a+b=1\Rightarrow a=1-b\)

\(M=a^3+b^3\)

     \(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

     \(=a^2-ab+b^2\)

     \(=\left(1-b\right)^2-\left(1-b\right).b+b^2\)

     \(=1-2b+b^2-b+b^2+b^2\)

     \(=3b^2-3b+1\)

     \(=3\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}\)

     \(=3\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\forall b\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(b-\frac{1}{2}=0\Rightarrow b=\frac{1}{2}\Rightarrow a=1-b=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của M là \(\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Chúc bạn học tốt