Question

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: \(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\).

CMR: \(2\left(a+b+c\right)\ge\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}\)

@Ace Legona ai-đò júp với :v

Answer 1

Lời giải:

Từ điều kiện

\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Rightarrow abc(a+b+c)=ab+bc+ac\)

Sử dụng hệ quả của BĐT AM-GM:

\((ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)\Rightarrow \frac{(ab+bc+ac)^2}{3}\geq ab+bc+ac\)

Suy ra \(ab+bc+ac\geq 3\). Do đó:

\(\text{VP}\leq \sqrt{a^2+ab+bc+ac}+\sqrt{b^2+ab+bc+ac}+\sqrt{c^2+ab+bc+ac}\)

\(\Leftrightarrow \text{VP}\leq \sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(b+c)(b+a)}+\sqrt{(c+a)(c+b)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{a+b+a+c}{2}\) và tương tự....

\(\Rightarrow \text{VP}\leq \frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+c+b+a}{2}+\frac{c+a+c+b}{2}=2(a+b+c)=\text{VT}\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)