Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Thảo Vi

Cho a,b,c là số dương. CMR:

1. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)

2. \(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\le a^3+b^3+c^3\)

3. \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)

Akai Haruma
8 tháng 3 2021 lúc 21:46

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

Cộng theo vế và thu gọn:

$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$

Ta có đpcm.

Akai Haruma
8 tháng 3 2021 lúc 21:49

Bài 2:

$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$

$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$

$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$

Cộng theo vế và rút gọn thu được:

$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$ 

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Akai Haruma
8 tháng 3 2021 lúc 21:50

Bài 3:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Akai Haruma
8 tháng 3 2021 lúc 21:53

Cách 2 bài 2:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})^2\leq (a^3+b^3+c^3)(abc+abc+abc)=3abc(a^3+b^3+c^3)$

Mà theo BĐT AM-GM: $3abc\leq a^3+b^3+c^3$. Do đó:

$(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})^2\leq (a^3+b^3+c^3)^2$

$\Rightarrow a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\leq a^3+b^3+c^3$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

 

Akai Haruma
8 tháng 3 2021 lúc 21:56

Cách 2 bài 3:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq a$

$\frac{b^2}{a+c}+\frac{a+c}{4}\geq b$

$\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\geq c$

Cộng theo vế và thu gọn ta có:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$


Các câu hỏi tương tự
Hoàng
Xem chi tiết
Serena chuchoe
Xem chi tiết
Ngô Thành Chung
Xem chi tiết
Unruly Kid
Xem chi tiết
Thiên Yết
Xem chi tiết
Tae Tae
Xem chi tiết
Serena chuchoe
Xem chi tiết
Unruly Kid
Xem chi tiết
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết