Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
Cộng theo vế và thu gọn:
$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$
Ta có đpcm.
Bài 2:
$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$
$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$
$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Cách 2 bài 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})^2\leq (a^3+b^3+c^3)(abc+abc+abc)=3abc(a^3+b^3+c^3)$
Mà theo BĐT AM-GM: $3abc\leq a^3+b^3+c^3$. Do đó:
$(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})^2\leq (a^3+b^3+c^3)^2$
$\Rightarrow a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\leq a^3+b^3+c^3$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Cách 2 bài 3:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq a$
$\frac{b^2}{a+c}+\frac{a+c}{4}\geq b$
$\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\geq c$
Cộng theo vế và thu gọn ta có:
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$