Với a,b,c là các số thức dương .Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a^5}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^5}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^5}{c^2+ac+a^2}\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\dfrac{a^6}{a^3+a^2b+ab^2}+\dfrac{b^6}{b^3+b^2c+bc^2}+\dfrac{c^6}{c^3+ac^2+a^2c}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2+b^3+b^2c+bc^2+c^3+ac^2+a^2c}\)
\(=\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\). Cần chứng minh BĐT
\(\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Lại xài BĐT Holder ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{3}\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge a^2+b^2+c^2\)
BĐT cuối nên ta có cả bài này sai. Ai có cách khác hay soi lỗi hộ thì tks trước :v
