Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1+2x, 1+2y) và (1,1) ta có:

\(P^2\le\left[\left(\sqrt{1+2x}\right)^2+\left(\sqrt{1+2y}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)=2\left(2x+2y+1\right)\le2\left(x^2+1+y^2+1+1\right)=2.4=8\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{8}\)

Vậy GTLN của P là \(\sqrt{8}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{1+2x}=\sqrt{1+2y}\\x,y>0\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Lời giải:

Tìm max:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(P^2=(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y})^2\leq (1+2x+1+2y)(1+1)=4(x+y+1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\((x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=2\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}\)

\(\Rightarrow P^2\leq 4(x+y+1)\leq 4(\sqrt{2}+1)\)

\(\Rightarrow P\leq 2\sqrt{\sqrt{2}+1}\)

Vậy \(P_{\max}=2\sqrt{\sqrt{2}+1}\Leftrightarrow x=y=\sqrt{\frac{1}{2}}\)

Tìm min:

Vì \(x^2+y^2=1\Rightarrow x^2\leq 1; y^2\leq 1\Rightarrow x,y\leq 1\). Kết hợp với \(x,y\geq 0\)

\(\Rightarrow 0\leq x,y\leq 1\Rightarrow x^2\leq x; y^2\leq y\Rightarrow x^2+y^2\leq x+y\)

Do đó:

\(P^2=2+2(x+y)+2\sqrt{(1+2x)(1+2y)}\)

\(=2+2(x+y)+2\sqrt{1+2(x+y)+4xy}\geq 2+2(x^2+y^2)+2\sqrt{1+2(x^2+y^2)}=4+2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow P\geq \sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1\)

Vậy \(P_{\min}=\sqrt{3}+1\Leftrightarrow (x,y)=(1,0)\) và hoán vị.

tích mình với

ai tích mình

mình tích lại

thanks

Tích mình đi mình tích lại

1) hệ <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)=1\\x+y+3\sqrt[3]{\left(x-1\right)\left(y+1\right)}\left(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{y+1}\right)=1\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3\sqrt[3]{xy}=1\\x+y+3\sqrt[3]{\left(x-1\right)\left(y+1\right)}=1\end{matrix}\right.\)

trừ vế theo vế => \(3\sqrt[3]{xy}-3\sqrt[3]{\left(x-1\right)\left(y+1\right)}=0\)

<=> xy=(x-1)(y-1) <=> x-y=1=> \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=1\\x-y=1\end{matrix}\right.\)

đặt \(\sqrt[3]{x}=a;\sqrt[3]{y}=b\)

hpt <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\a^3-b^3=1\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=1-a\\2a^3-3a^2+3a-2=0\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}b=1-a\\\left(a-1\right)\left(2a^2-a+2\right)=0\end{matrix}\right.\)<=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)

p/s: cách làm khá dài ,có ai có cách khác thì làm luôn cho mik exp :v )

câu 2) xét \(p^2\) nhé ( để mai làm đã @@ )

1) \(\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge8\)

\(\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}\)\(\Leftrightarrow\)\(xy=2\left(x+y\right)\ge16\)

\(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt[4]{xy}\ge2\sqrt[4]{16}=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=4\)

2) \(B=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\ge\sqrt{3x-5+7-3x}=\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\x=\frac{7}{3}\end{cases}}\)

\(B=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\le\frac{3x-5+1+7-3x+1}{2}=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=2\)

Lời giải:

Đặt $xy=t$

Áp dụng BĐT AM_GM:

$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=3$. Như vậy $0\leq t\leq 3$

Ta có:

$P=(x^4+1)(y^4+1)=x^4y^4+x^4+y^4+1$

$=x^4y^4+(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+1$

$=x^4y^4+[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2+1$

$=x^4y^4+2x^2y^2-48xy+145$

$=t^4+2t^2-48t+145$

$=t(t^3+2t-48)+145$

Vì $0\leq t\leq 3$ nên $t(t^3+2t-48)\leq 0$

$\Rightarrow P\leq 145$

Vậy $P_{\max}=145$. Giá trị này đạt tại $(x,y)=(0,2\sqrt{3})$ và hoán vị.