Question

Cho \(x,y\ge0;x^2+y^2=1\). Tìm Min, Max: \(P=\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1+2x, 1+2y) và (1,1) ta có:

\(P^2\le\left[\left(\sqrt{1+2x}\right)^2+\left(\sqrt{1+2y}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)=2\left(2x+2y+1\right)\le2\left(x^2+1+y^2+1+1\right)=2.4=8\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{8}\)

Vậy GTLN của P là \(\sqrt{8}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{1+2x}=\sqrt{1+2y}\\x,y>0\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)