Nội dung lý thuyết
- Trên tập hợp số thực, khi so sánh 2 số \(a\) và \(b\) xảy ra một trong ba trường hợp:
Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu là a < b ;
Số a lớn hơn số b, kí hiệu là a > b ;
Số a bằng số b, kí hiệu là a = b.
- Khi biểu diễn số thực trên trục số (vẽ theo phương nằm ngang), điểm biểu diễn số nhỏ hơn nằm bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn.
- Nếu số a không nhỏ hơn số b, ta nói số a lớn hơn hoặc bằng số b và được kí hiệu là \(a\ge b\).
- Nếu số a không lớn hơn số b, ta nói số a nhỏ hơn hoặc bằng số b và được kí hiệu là \(a\le b\).
- Bất đẳng thức là các hệ thức có dạng \(a>b\) (hoặc \(a< b\); \(a\ge b\); \(a\le b\)).
Trong đó: \(a\) là vế trái, \(b\) là vế phải của bất đẳng thức.
- Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: Khi cộng cùng một số vào cả 2 vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Tính chất: Với 3 số \(a,b,c\) ta có:
Nếu \(a>b\) thì \(a+c>b+c\) ; Nếu \(a\ge b\) thì \(a+c\ge b+c\) ;
Nếu \(a< b\) thì \(a+c< b+c\) ; Nếu \(a\le b\) thì \(a+c\le b+c\).
Chú ý: Tính chất của thứ tự cũng chính là tính chất của bất đẳng thức.
- Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương: Khi nhân cả 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Tính chất: Với 3 số \(a,b,c\) và \(c>0\) ta có:
Nếu \(a>b\) thì \(ac>bc\) ; Nếu \(a\ge b\) thì \(ac\ge bc\) ;
Nếu \(a< b\) thì \(ac< bc\) ; Nếu \(a\le b\) thì \(ac\le bc\).
- Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm: Khi nhân cả 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
Tính chất: Với 3 số \(a,b,c\) và \(c< 0\) ta có:
Nếu \(a>b\) thì \(ac< bc\) ; Nếu \(a\ge b\) thì \(ac\le bc\) ;
Nếu \(a< b\) thì \(ac>bc\) ; Nếu \(a\le b\) thì \(ac\ge bc\).
- Tính chất bắc cầu của thứ tự: Với 3 số \(a,b,c\), Nếu \(a< b\) và \(b< c\) thì \(a< c\).
Tương tự, các thứ tự lớn hơn (>), lớn hơn hoặc bằng (\(\ge\)), nhỏ hơn hoặc bằng (\(\le\)) cũng có tính chất bắc cầu.
- Các hệ thức có dạng \(A\left(x\right)< B\left(x\right)\) (hoặc \(A\left(x\right)>B\left(x\right)\); \(A\left(x\right)\ge B\left(x\right)\); \(A\left(x\right)\le B\left(x\right)\)), trong đó \(A\left(x\right)\) và \(B\left(x\right)\) là các biểu thức chứa một ẩn \(x\), được gọi là bất phương trình một ẩn.
- Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn sao cho khi thay giá trị đó vào bất phương trình ta được khẳng định đúng.
- Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình.
- Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.
- Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm được gọi là hai bất phương trinh tương đương, ta dùng kí hiệu "\(\Leftrightarrow\)" để chỉ sự tương đương đó.
- Định nghĩa: Bất phương trình có dạng \(ax+b< 0\) (hoặc \(ax+b>0\); \(ax+b\le0\); \(ax+b\ge0\)), trong đó \(a\) và \(b\) là hai số đã cho và \(a\ne0\), được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
- Hai quy tắc thường dùng để biến đổi bất phương trình:
+ Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.
+ Quy tắc nhân với một số: Khi nhân cả 2 vế của bất phương trình với cùng một số khác 0 ta phải:
- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;
- Đảo chiều bất phương trình nếu số đó âm.
- Có nhiều bất phương trình có thể dùng quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, quy đồng khử mẫu,... để đưa được về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn.
- Giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu là \(\left|a\right|\), được định nghĩa là:
\(\left|a\right|=a\) nếu \(a\ge0\) ;
\(\left|a\right|=-a\) nếu \(a< 0\).
- Với biểu thức A, ta cũng có định nghĩa tương tự:
\(\left|A\right|=A\) nếu \(A\ge0\) ;
\(\left|A\right|=-A\) nếu \(A< 0\).
- Trong quá trình giải phương trình (hoặc bất phương trình) chứa dấu giá trị tuyệt đối,ta luôn phải xét các trường hợp tương ứng với điều kiện của ẩn để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối.