Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R. Chứng minh \(\dfrac{OA}{OP}.\dfrac{OB}{OQ}.\dfrac{OC}{OR}\ge8\)
Những câu hỏi liên quan
cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ trong tam giác. các tia AO,BO,CO cắt các cạnh BC,CA,AB thứ tự tại các điểm P,Q,R. chứng minh OA/OP*OB/OQ*OC/OR>=8
Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác. Các tia AO, Bo, Co cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R.
Chứng minh \(\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}\ge8\)
cho tam giác ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác. Các Tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R. Chứng minh \(\frac{OA}{OP}\times\frac{OB}{OQ}\times\frac{OC}{OR}\ge8\)
cho tam giác ABC và O là mọt điểm bất kì trong tam giác.Các tia AO,BO,CO cắt các cạnh BC,CA,AB thứ tự tại các điểm P,Q,R.Chứng minh \(\dfrac{OA}{OP}.\dfrac{OB}{OQ}.\dfrac{OC}{OR}\ge8\)
Lời giải:
Đặt \(S_{BOC}=S_1;S_{AOC}=S_2;S_{AOB}=S_3;S_{ABC}=S\)
Ta có \(\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{POB}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{POC}}=\dfrac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{COB}}=\dfrac{S_2+S_3}{S_1}\)
Tương tự:\(\dfrac{OB}{OQ}=\dfrac{S_3+S_1}{S_2};\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{S_1+S_2}{S_3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OP}.\dfrac{OB}{OQ}.\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{\left(S_1+S_2\right)\left(S_2+S_3\right)\left(S_3+S_1\right)}{S_1.S_2.S_3}\ge\)
\(\ge\dfrac{2\sqrt{S_1.S_2}.2\sqrt{S_2.S_3}.2\sqrt{S_3.S_1}}{S_1.S_2.S_3}=8\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow S_1=S_2=S_3\Leftrightarrow\) O là giao điểm ba đường trung tuyến tam giác ABC
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác. Các tia AO,BO, CO cắt các cạnh BC,CA,AB thứ tự tại các điểm P,Q,R. Chứng minh \(\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}\ge8\)
Cho tam giác ABC, O là điểm bất kì nằm tring tamm giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB tại P, Q, R. Chứng minh: \(\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OB}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}}\ge3\sqrt{2}\)
Đặt \(S_{AOC}=x^2;S_{BOC}=y^2;S_{AOB}=z^2\) \(\left(x,y,z>0\right)\)
* Ta thấy tam giác AOB và BOP có chung đường cao kẻ từ B
\(\Rightarrow\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOP}}=\dfrac{OA}{OP}\). Tương tự \(\dfrac{S_{AOC}}{S_{COP}}=\dfrac{OA}{OP}\)
\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOP}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{COP}}=\dfrac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{BOP}+S_{COP}}=\dfrac{x^2+z^2}{y^2}\)
Tương tự \(\dfrac{OB}{OQ}=\dfrac{y^2+z^2}{x^2};\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\)
* Áp dụng BĐT cau-chy ta có
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2z^2}{y^4}}=\dfrac{2xz}{y^2}\) .
Tương tự \(\dfrac{y^2+z^2}{x^2}\ge\dfrac{2yz}{x^2}\) ; \(\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\ge\dfrac{2xy}{z^2}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{x^2+z^2}{y^2}.\dfrac{y^2+z^2}{x^2}.\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\ge8\)
\(\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OB}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{A}}=3\sqrt{2}\) - đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC và O là điểm bất kì nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh rằng:
a) dfrac{OP}{AP}+dfrac{OQ}{BQ}+dfrac{OR}{CR}1
b) dfrac{AP}{OP}+dfrac{BQ}{OQ}+dfrac{CR}{OR}ge9
c) Trong 3 tỉ số: dfrac{OA}{OP},dfrac{OB}{OQ},dfrac{OC}{OR} có một tỉ số không nhỏ hơn 2, có một tỉ số không lớn hơn 2
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC và O là điểm bất kì nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh rằng:
a) \(\dfrac{OP}{AP}+\dfrac{OQ}{BQ}+\dfrac{OR}{CR}=1\)
b) \(\dfrac{AP}{OP}+\dfrac{BQ}{OQ}+\dfrac{CR}{OR}\ge9\)
c) Trong 3 tỉ số: \(\dfrac{OA}{OP},\dfrac{OB}{OQ},\dfrac{OC}{OR}\) có một tỉ số không nhỏ hơn 2, có một tỉ số không lớn hơn 2
Cho điểm O thuộc miền trong tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở D, E, F. CMR: \(\dfrac{OA}{OD}+\dfrac{OB}{OE}+\dfrac{OC}{OF}\ge6\). Tìm vị trí của O để dấu đẳng thức xảy ra