a, Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A

\(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow BC^2=\left(\frac{3}{5}BC\right)^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=\frac{16}{25}BC^2\Leftrightarrow AC=\frac{4}{5}BC\)

* Áp dụng hệ thức : 

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{144}=\frac{1}{\frac{9}{25}BC^2}+\frac{1}{\frac{16}{25}BC^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{144}=\frac{\frac{16}{25}BC^2+\frac{9}{25}BC^2}{\frac{16}{25}BC^2.\frac{9}{25}BC^2}\Rightarrow144BC^2=\frac{144}{625}BC^4\)

\(\Leftrightarrow\frac{144}{625}BC^2-144=0\Leftrightarrow BC^2=144.\frac{625}{144}=625\Leftrightarrow BC=25\)cm 

\(\Rightarrow AB=\frac{3}{5}BC=\frac{3}{5}.25=\frac{75}{5}=15\)cm

\(\Rightarrow AC=\frac{4}{5}BC=\frac{4}{5}.25=\frac{100}{5}=20\)

Chu vi tam giác là : \(P_{ABC}=AB+BC+AB=15+20+25=60\)cm²

b, Vì AD là phân giác nên : \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\Rightarrow AB=\frac{3}{4}AC\)

Lại có : \(BC=BD+DC=15+20=35\)cm 

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A

\(BC^2=AC^2+AB^2=AC^2+\left(\frac{3}{4}AC\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{25}{16}AC^2=1225\Leftrightarrow AC^2=\frac{16.1225}{25}=784\Leftrightarrow AC=28\)cm 

\(\Rightarrow AB=\frac{3}{4}.28=21\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{AC^2+AB^2}{AB^2AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{784+441}{345744}\Leftrightarrow1225AH^2=345744\Leftrightarrow AH^2=\frac{7056}{25}\Leftrightarrow AH=\frac{84}{5}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{441}{35}=\frac{63}{5}\)cm 

\(\Rightarrow HD=BD-BH=15-\frac{63}{5}=\frac{12}{5}\)cm

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác AHD vuông tại H 

\(AD^2=AH^2+HD^2=\left(\frac{84}{5}\right)^2+\left(\frac{12}{5}\right)^2=288\Rightarrow AD=12\sqrt{2}\)cm 

1:

BC=15+20=35cm

AD là phân gíac

=>AB/BD=AC/CD

=>AB/3=AC/4=k

=>AB=3k; AC=4k

AB^2+AC^2=BC^2

=>25k^2=35^2

=>k=7

=>AB=21cm; AC=28cm

AH=21*28/35=16,8cm

\(AD=\dfrac{2\cdot21\cdot28}{21+28}\cdot cos45=12\sqrt{2}\left(cm\right)\)

2:

BC=căn 12^2+16^2=20cm

HB=AB^2/BC=12^2/20=7,2cm

HC=20-7,2=12,8cm

Để chứng minh rằng √2/AD = 1/AB + 1/AC, ta có thể sử dụng định lý phân giác trong tam giác vuông.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có đường phân giác AD chia góc BAC thành hai góc bằng nhau.

Áp dụng định lý phân giác, ta có:

AB/BD = AC/CD

Từ đó, ta có:

AB/AD + AC/AD = AB/BD + AC/CD

= (AB + AC)/(BD + CD)

= (AB + AC)/BC

= 1/BC (vì tam giác ABC vuông tại A)

Vậy, ta có:

1/AD = 1/AB + 1/AC

√2/AD = √2/AB + √2/AC

Vậy, chứng minh đã được hoàn thành.

Để chứng minh rằng nếu 1/ah^2 + 1/am^2 = 2/ad^2, ta cần có thông tin chi tiết về tam giác ABC và các điều kiện đi kèm.

2/AD^2=(căn 2/AD)^2

=(1/AB+1/AC)^2

\(=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}+2\cdot\dfrac{1}{AB\cdot AC}\)

\(=\dfrac{1}{AH^2}+2\cdot\dfrac{1}{AH\cdot BC}\)

\(=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{AM^2}\)

giúp mình câu b với các bạn ơi

bạn hỏi nhiều quá , các bạn nhìn vào ko biết trả lời sao đâu !!!

rối mắt quá mà viết dày nên bài nọ xọ bài kia mình ko trả lời được cho dù biết rất rõ

viet ba dao nhu the co ma lam dc!!! 

a: góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiêp

=>góc AFE=góc ACB

mà góc FAE chung

nên ΔAFE đồng dạng với ΔACB

b: Xét ΔDAB vuông tại D và ΔDCH vuông tại D có

góc DAB=góc DCH

=>ΔDAB đồng dạng vơi ΔDCH

=>DA/DC=DB/DH

=>DA*DH=DB*DC

c: Xét ΔHDC vuông tại D và ΔHFA vuông tại F có

góc DHC=góc FHA

=>ΔHDC đồng dạng vơi ΔHFA

=>HD/HF=HC/HA

=>HF*HC=HD*HA

Xet ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

góc FHB=góc EHC

=>ΔHFB đồng dạng với ΔHEC
=>HF/HE=HB/HC

=>HF*HC=HB*HE=HD*HA

a) Ta có:   d // BC (gt)

 \(\Rightarrow\)B'C' // BC, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

     \(\frac{AB'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}\)(Trong \(\Delta AB'C'\)và \(\Delta ABC\)) (1)

Và \(\frac{AB'}{AB}=\frac{AD'}{AD}\)(Trong \(\Delta AB'D'\)và \(\Delta ABD\)) (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\)\(\frac{B'C'}{BC}=\frac{AD'}{AD}\left(3\right)\)

b) Ta có: AD' = \(\frac{1}{3}\)AD (gt) (4) \(\Leftrightarrow\frac{AD'}{AD}=\frac{1}{3}\left(5\right)\)

Từ (3), (5) \(\Rightarrow\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow B'C'=\frac{1}{3}BC\)\(\left(6\right)\)

Tích của cạnh đáy BC và đuuờng cao AD là:

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AD.BC\)

\(\Leftrightarrow\)73,5 \(=\frac{1}{2}AD.BC\)

\(\Leftrightarrow\)\(AD.BC=\)73,5 :\(\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(AD.BC=\)147     \(\left(7\right)\)

Diện tích tam giác AB'C' là:

\(S_{AB'C'}=\frac{1}{2}AD'.B'C'\)

Từ (4), (6) \(\Rightarrow S_{AB'C'}\)=\(\frac{1}{2}.(\frac{1}{3}.AD.\frac{1}{3}BC)\)

                \(\Leftrightarrow S_{AB'C'}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.AD.BC\)

Từ (7)  \(\Rightarrow S_{AB'C'}\)\(=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.147\)

                               \(=\frac{49}{6}\)

Vậy  \(S_{AB'C'}=\frac{49}{6}cm^2\)

Bài 2:

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên phân giác $AD$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow AD\perp DC$. Mà $\widehat{DAC}=\widehat{BAC}:2 =45^0$ nên $\triangle DAC$ vuông cân tại $D$

$\Rightarrow DA=DC(1)$

$D,E$ đối xứng với nhau qua $AC$ nên $AC$ là trung trực của $DE$

$\Rightarrow CD=CE; AD=AE(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow AD=DC=CE=EA$

$\Rightarrow ADCE$ là hình thoi.

Mà $\widehat{ADC}=90^0$ nên $ADCE$ là hình vuông.

Hình bài 2:

Bài 3:
Xét tam giác $ABH$ và $ACK$ có:
$\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^0$
$\widehat{A}$ chung

$\Rightarrow \triangle ABH\sim \triangle ACK$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AB}{AH}=\frac{AC}{AK}$

Xét tam giác $AKH$ và $ACB$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\frac{AH}{AB}=\frac{AK}{AC}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle AKH\sim \triangle ACB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{K_2}=\widehat{ACB}$ và $\widehat{H_1}=\widehat{ABC}$

Xét tam giác $KEB$ và $CHB$ có:

$\widehat{KEB}=\widehat{CHB}=90^0$
$\widehat{K_1}=\widehat{K_2}=\widehat{ACB}=\widehat{HCB}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle KEB\sim \triangle CHB$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{KE}{KB}=\frac{CH}{CB}(1)$
Tương tự: 

$\triangle CFH\sim \triangle CKB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \frac{CH}{FH}=\frac{CB}{KB}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \frac{KE}{KB}.\frac{CH}{FH}=\frac{CH}{CB}.\frac{CB}{KB}$

$\Rightarrow \frac{KE}{HF}=1$
$\Rightarrow KE=HF$ (đpcm)