1: TXĐ: D=R\{-4}

\(y=\dfrac{x+m^2}{x+4}\)

=>\(y'=\dfrac{\left(x+m^2\right)'\left(x+4\right)-\left(x+m^2\right)\left(x+4\right)'}{\left(x+4\right)^2}\)

\(=\dfrac{x+4-x-m^2}{\left(x+4\right)^2}=\dfrac{4-m^2}{\left(x+4\right)^2}\)

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì 

\(\dfrac{4-m^2}{\left(x+4\right)^2}>0\forall x\in TXĐ\)
=>\(4-m^2>0\)

=>\(m^2< 4\)

=>-2<m<2

Tập xác định : D = [0 ; 2]; y' = , ∀x ∈ (0 ; 2); y' = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên :

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 1) và nghịch biến trên khoảng (1 ; 2).

TXĐ: D = [0; 2]

+ Hàm số đồng biến

⇔ y’ > 0

⇔ 0 < x < 1.

+ Hàm số nghịch biến

⇔ y’ < 0

⇔ 1 < x < 2.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).

1: TXĐ: D=R\{3}

\(y=\dfrac{x^2-6x+10}{x-3}\)

=>\(y'=\dfrac{\left(x^2-6x+10\right)'\left(x-3\right)-\left(x^2-6x+10\right)\left(x-3\right)'}{\left(x-3\right)^2}\)

=>\(y'=\dfrac{\left(2x-6\right)\left(x-3\right)-\left(x^2-6x+10\right)}{\left(x-3\right)^2}\)

=>\(y'=\dfrac{2x^2-12x+18-x^2+6x-10}{\left(x-3\right)^2}\)

=>\(y'=\dfrac{x^2-6x+8}{\left(x-3\right)^2}\)

Đặt y'<=0

=>\(\dfrac{x^2-6x+8}{\left(x-3\right)^2}< =0\)

=>\(x^2-6x+8< =0\)

=>(x-2)(x-4)<=0

=>2<=x<=4

Vậy: Khoảng đồng biến là [2;3) và (3;4]

Trên \(\left(-\dfrac{\pi}{2}+k.2\pi;\dfrac{\pi}{2}+k.2\pi\right)\) chọn 2 giá trị của x (x₁ và x₂) sao cho x₁ > x₂

Xét f(x₁) - f(x₂) = sinx₁ - sinx₂

 = 2cos\(\dfrac{x_1+x_2}{2}\) . sin \(\dfrac{x_1-x_2}{2}\)

Do \(\dfrac{x_1+x_2}{2}\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)

⇒ cos\(\dfrac{x_1+x_2}{2}\) > 0 

Mà \(sin\dfrac{x_1-x_2}{2}\) > 0 

nên f(x₁) - f(x₂) > 0 

Vậy đồng biến

Nghịch biến tương tự

Lời giải:

a.

$y'=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}>0, \forall x\in (0; 1)$

$\Rightarrow y$ đồng biến trên khoảng $(0;1)$
b. 

Với mọi $x>1$ thì $y'=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}< 0$

$\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $(1;+\infty)$

1.

\(f'\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)\) có các nghiệm bội lẻ \(x=\left\{-1;1;3\right\}\)

Sử dụng đan dấu ta được hàm đồng biến trên các khoảng: \(\left(-1;1\right);\left(3;+\infty\right)\)

Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right);\left(1;3\right)\)

2.

\(y'=4x^3-4x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

Lập bảng xét dấu y' ta được hàm đồng biến trên \(\left(-1;0\right);\left(1;+\infty\right)\)

Hàm nghịch biến trên \(\left(-\infty;-1\right);\left(0;1\right)\)

TXĐ: D = R

+ Hàm số nghịch biến

⇔ y’ < 0

⇔ 1 – x2 < 0

⇔ x2 > 1

⇔ x ∈ (-∞ ; -1) ∪ (1; +∞).

+ Hàm số đồng biến

⇔ y’ > 0

⇔ 1 – x2 > 0

⇔ x2 < 1

⇔ x ∈ (-1; 1).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).