Nếu \(n=0\) thì \(5^0-1=1-1=0⋮4\)

Nếu \(n=1\) thì \(5^1-1=5-1=4⋮4\)

Nếu \(n\ge2\) thì 2 số tận cùng khi lũy thừa với cơ số 5 luôn là 25.

\(\Rightarrow5^n-1=\left(...25\right)-1=\left(...24\right)⋮4\)(đpcm)

2 Số tận cùng chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4.

a) 101ⁿ⁺¹-101ⁿ=101ⁿ.101-101ⁿ=101ⁿ(101-1)=100.101ⁿ chia hết cho 100

c) n²(n-1)-2n(n-1)=(n²-2n)(n-1)=n(n-1)(n-2)

vì n, (n-1), (n-2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3

Mà(2, 3) = 1 

⇒n(n-1)(n-2) chia hết cho 2.3 = 6

phần b mik ko giải đc 

a) Ta có: \(101^{n+1}-101^n\)

\(=101^n\left(101-1\right)\)

\(=100\cdot101^n⋮100\)

b) Ta có: \(25^{n+1}-25^n\)

\(=25^n\left(25-1\right)\)

\(=25^{n-1}\cdot24⋮100\)

 Ta xét hai khả năng:

a. Nếu \(n⋮3\)thì rõ ràng \(\left(n^3+2n\right)⋮3.\)

b. Nếu n không chia hết cho 3 thì n có dạng n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 với k \(\in N\).

*Với \(\text{n = 3k+ 1:}\left(n^3+2n\right)=\left(3k+1\right)^3+2\left(3k+1\right).\)

\(=27k^3+27k^2+9k+1+6k+2=3\left(9k^3+9k^2+5k+1\right)⋮3.\)

*Với \(n=3k+2:n^3+2n=\left(3k+2\right)^3+2\left(3k+2\right).\)

\(=27k^3+54k^2+36k+8+6k+4=3\left(9k^3+18k^2+14k+4\right)⋮3.\)

Mệnh đề được chứng minh.

P/s: không chắc lắm:)

TA Thấy:

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Vì \(n^3-n\)là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên \(\left(n^3-n\right)⋮3\)

Mà \(3n⋮3\)

do đó \(\left(n^3-n+3n\right)⋮3\)

Hay \(n^3+2n⋮3\left(ĐPCM\right)\)

Chứng minh bằng quy nặp toán học:

1. \(n=1\Rightarrow n^3+2n=1+2.1=3\), vậy mệnh đề đúng với n = 1.

2. Giả sử mệnh đề đúng với k, nghĩa là ta có: \(\left(k^3+2k\right)⋮3\)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, nghĩa là phải chứng minh:

\([\left(k+1\right)^3+2\left(k+1\right)]⋮3.\)

Ta có: \(\left(k+1\right)^3+2\left(k+1\right)=k^3+3k^2+3k+1+2k+2\)

                                                         \(=\left(k^3+2k\right)+3\left(k^2+k+1\right),k\in N.\)

Nhưng \(\left(k^3+2k\right)⋮3\)(theo giả thiết quy nạp); \(3\left(k^2+k+1\right)⋮3\)

Vậy \(\left(k+1\right)^3+2\left(k+1\right)]⋮3.\)Vậy mệnh đề trên đúng với mọi \(n\in N.\)

Cm: \(\forall\)\(x\in\) N ta có: (n + 45).(4n² -1) ⋮ 3

Trong biểu thức không hề chứa \(x\) em nhá

Biểu thức chứa \(x\) là biểu thức nào thế em?

Bài này em nghĩ là phải sửa thành với mọi \(n\inℕ\) ạ.

Đặt \(P=\left(n+45\right)\left(4n^2-1\right)\)

Với \(n⋮3\) thì hiển nhiên \(n+45⋮3\), suy ra \(P⋮3\) 

Với \(n⋮̸3\) thì \(n^2\equiv1\left[3\right]\) nên \(4n^2\equiv1\left[3\right]\) hay \(4n^2-1⋮3\), suy ra \(P⋮3\)

Vậy, với mọi \(n\inℕ\) thì \(\left(n+45\right)\left(4n^2-1\right)⋮3\) (đpcm)

1+2+3+4+5+6+7+8+9=133456 hi hi

đào xuân anh sao mày gi sai hả

???????????????????
 

Hoặc bạn cũng có thể làm là:

Do: \(25\equiv6\left(mo\text{d}19\right)\Rightarrow25^n\equiv6^n\left(mo\text{d}19\right)\)

\(\Rightarrow7.25^n+12.6^n\equiv7.6^n+12.6^n\left(mo\text{d}19\right)\)

\(\Rightarrow7.5^{2n}+12.6^n\equiv19.6^n\left(mo\text{d}19\right)\)

Mà: \(19.6^n\equiv0\left(mo\text{d}19\right)\)

\(\Rightarrow7.5^{2n}+12.6^n\equiv0\left(mo\text{d}19\right)\)

Hay 7.5²ⁿ + 12.6ⁿ chia hết cho 19.

(_Bài này mình làm theo phép toán đồng dư bạn có thể tham khảo thêm hoặc nếu đã học 'mod' thì cũng có thể áp dụng_)

b) 7.5²ⁿ + 12.6ⁿ 

= 7.25ⁿ + 12.6ⁿ 

= 7.25ⁿ - 7.6ⁿ + 19.6ⁿ 

= 7(25ⁿ - 6ⁿ) + 19.6ⁿ 

= 7(25 - 6)[X] + 19.6ⁿ

= 7.19.[X] + 19.6ⁿ 

= 19 .(7[X] + 6ⁿ)chia hết cho 19