\(a,b,c,d>0\). Chứng minh \(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)
Bài 1:Cho a,b,c là các số dương tùy ý. Chứng minh rằng: \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\)
Bài 2: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh các bđt:
a) \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
b) \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\left(d>0\right)\)
Bài 1:
Ta có: \(\frac{ab}{a+b}=ab.\frac{1}{a+b}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{b}{4}+\frac{a}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại rồi cộng theo vế ta có d9pcm.
Bài 2: 2 bài đều dùng Svac cả!
Bài 2a làm bên h rồi nên chụp lại thôi!
(cần thì ib t gửi link cho)
Chú thích cho you hiểu: Ở bài 1:
Chúng ta biết rằng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{ab}{a+b}\) thế thôi!
m =\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{c+d+a}\)
chứng minh. 1 < m <2
với. a,b,c,d >0
Ta có :
\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{a+b+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{b+c+d}>\frac{c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{c+d+a}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow\)\(M=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{c+d+a}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\) ( cộng theo vế 4 đẳng thức trên )
\(\Rightarrow\)\(M>1\) \(\left(1\right)\)
Lại có : ( phần này áp dụng công thức \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) \(\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m\inℕ^∗\right)\) )
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{a+b+d}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{b+c+d}< \frac{c+a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{c+d+a}< \frac{d+b}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow\)\(M=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{c+d+a}< \frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\) ( cộng theo vế 4 đẳng thức trên )
\(\Rightarrow\)\(M< 2\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm : \(1< M< 2\)
Vậy \(1< M< 2\)
Chúc bạn học tốt ~
Câu 1: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\).
Câu 2: Cho \(a,b,c,d>0\)và \(a+b+c+d=4\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge2\).
Câu 3: Cho \(a,b,c,d>0\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\).
Câu 4: Cho \(a,b,c,d>0\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\frac{b^4}{b^3+2c^3}+\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\frac{d^4}{d^3+2a^3}\ge\frac{a+b+c+d}{3}\).
Câu 5: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\ge1\).
Câu 6: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\ge1\).
Câu 7: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).
Câu 8: Cho \(a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n>0\)và \(a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n=n\)với \(n\)nguyên dương. Chứng minh:
\(\frac{1}{a_1+1}+\frac{1}{a_2+1}+...+\frac{1}{a_{n-1}+1}+\frac{1}{a_n+1}\ge\frac{n}{2}\).
Cho \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)Chứng minh \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)(1)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{k\left(b+d\right)}{b+d}=k\)(2)
và \(\frac{a-c}{b-d}=\frac{bk-dk}{b-d}=\frac{k\left(b-d\right)}{b-d}=k\)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\left(đpcm\right)\)
Ta có \(\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\)
\(\Rightarrow\left(a+c\right).\left(b-d\right)=\left(b+d\right).\left(a-c\right)\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc\right)-\left(ad+cd\right)=\left(ab+ad\right)-\left(bc+dc\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc-ad-cd=ab+ad-bc-dc\)
\(\Rightarrow bc-ad=ad-bc\)
\(\Rightarrow bc+bc=ad+ad\)
\(\Rightarrow2bc=2ad\)
\(\Rightarrow bc=ad\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)(theo đề bài cho)
Vậy bài toán dc c/m
RoxieNgười ta bảo chứng minh \(\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\)tức là chưa có điều đó mà sao cậu kêu ta có như đúng rồi vậy
Bài.1.Cho 2 số hữu tỉ\(\frac{a}{b}\)và\(\frac{c}{d}\)(b>0,d>0) chứng tỏ rằng
a)Nếu\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{c}{d}\) thì a,d<b,c
b)Nếu a,d<b,c thì\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{c}{d}\)
Bài.2.Chứng tỏ rằng nếu \(\frac{a}{b}\)<\(\frac{c}{d}\)(b>0,d>0)
Thì \(\frac{a}{b}\)<\(\frac{a+c}{b+d}\)<\(\frac{c}{d}\)
a) phải là a.d<b.c
chứ ko phải a,d<b,c đâu
Cho\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)chứng minh rằng:
a)\(\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}\)
b)\(\frac{a\times c}{b\times d}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)
c)\(\frac{a\times b}{c\times d}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)
1. Chứng minh tỉ lệ thức:
Cho \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) , chứng minh rằng :
a, \(\frac{a}{3a+b}\) \(=\frac{c}{3c+d}\)
b, \(\frac{a.c}{b.d}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)
c, \(\frac{a.b}{c.d}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)
Có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{ac}{bd}\)
Mà \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)
Nên \(\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\left(đpcm\right)\)
1. a) Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
=> \(\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
Khi đó \(\frac{a}{3a+b}=\frac{bk}{3bk+b}=\frac{bk}{b\left(3k+1\right)}=\frac{k}{3k+1}\left(1\right)\)
\(\frac{c}{3c+d}=\frac{dk}{3dk+d}=\frac{dk}{d\left(3k+1\right)}=\frac{k}{3k+1}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}\)
c,
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
=> \(\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
Khi đó \(\frac{ab}{cd}=\frac{b^2k}{d^2k}=\frac{b^2}{d^2}\) (3)
\(\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\frac{\left(bk\right)^2-b^2}{\left(dk\right)^2-d^2}=\frac{b^2k^2-b^2}{d^2k^2-d^2}=\frac{b^2\left(k^2-1\right)}{d^2\left(k^2-1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\frac{ab}{cd}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)
@@ Học tốt
Chiyuki Fujito
1) a) Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
Khi đó \(\frac{a}{3a+b}=\frac{bk}{3bk+b}=\frac{bk}{b\left(3k+1\right)}=\frac{k}{3k+1}\left(1\right)\)
\(\frac{c}{3a+b}=\frac{dk}{3dk+d}=\frac{dk}{d\left(3k+1\right)}=\frac{k}{3k+1}\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}\left(đpcm\right)\)
Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh: \(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)
Ta có: \(\frac{a}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(1\right)\)
Mặt khác: \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(3\right)\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\left(4\right)\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\left(5\right)\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{b+d+a}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\left(6\right)\)
Cộng vế với vế (3);(4);(5);(6) ta có:
\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\left(đpcm\right)\)
Đặt A = a/a+b+c + b/b+c+d + c/c+d+a + d/d+a+b
A > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d+a+b+c+d
A > a+b+c+d/a+b+c+d = 1 (1)
Áp dụng a/b < 1 <=> a/b < a+m/b+m (a;b;m > 0) ta có:
A < a+d/a+b+c+d + a+b/a+b+c+d + b+c/a+b+c+d + c+d/a+b+c+d
A < 2.(a+b+c+d)/a+b+c+d
A < 2
Từ (1) và (2) => đpcm
nguồn:soyeon_Tiểubàng giải
Với a,b,c,d là các số tự nhiên khác 0, chứng minh giá trị của biểu thức sau không phải là số nguyên:
A=\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)