Đặt \(B=h\left(h+1\right)\left(h+2\right)\left(h+3\right)\)

\(B=h\left(h+3\right)\left(h+2\right)\left(h+1\right)=\left(h^2+3h\right)\left(h^2+3h+2\right)\)

Đặt \(h^2+3h=t,\) ta có \(B=\left(t^2+2t+1\right)-1\)

\(B=\left(t+1\right)^2-1\ge-1\)

Vậy GTNN của B là -1 khi \(t=-1\) hay \(t=-1\Rightarrow h^2+3h=-1\Rightarrow h^2+3h+1=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

Ta có: \(h\left(h+1\right)\left(h+2\right)\left(h+3\right)=\left[h\left(h+3\right)\right]\left[\left(h+1\right)\left(h+2\right)\right]\)

\(=\left(h^2+3h\right)\left(h^2+h+2h+2\right)=\left(h^2+3h\right)\left(h^2+3h+2\right)\)

Đặt \(h^2+3h+1=a\); khi đó biểu thức sẽ có giá trị là:

\(\left(a-1\right)\left(a+1\right)=a^2-1\)

Thay a = \(h^2+3h+1\); khi đó biểu thức sẽ có giá trị là:

\(\left(h^2+3h+1\right)^2-1\)

Vì \(\left(h^2+3h+1\right)\ge0\)với mọi h

\(\Rightarrow\)Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow h^2+3h+1\)nhỏ nhất

Ta có \(h^2+3h+1=\left(h+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\)

Vậy GTNN của \(h^2+3h+1\)là \(-\frac{5}{4}\)

\(\Rightarrow\)GTNN của biểu thức là: \(\left(-\frac{5}{4}\right)^2-1=\frac{9}{16}\)

Vậy GTNN của biểu thức là \(\frac{9}{16}\)

H=căn x(căn x+1)+3>=3

Dấu = xảy ra khi x=0

ĐKXĐ: x ≥ 0

Với x ≥ 0 thì

x ≥ 0

√x ≥ 0

⇒ x + √x + 3 ≥ 3

Vậy GTNN của H là 3 khi x = 0

Áp dụng Bunyakovsky, ta có :

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2=1\)

=> \(\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)

=> \(Min_C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Mấy cái kia tương tự 

\(H=|x-3|+|4-x|\ge|x-3+4-x|=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=3

\(H=\left|x-3\right|+\left|4-x\right|\ge\left|x-3+4-x\right|=1\)

Dau "=" xra  <=>  \(\left(x-3\right)\left(4-x\right)\ge0\)  ,=>  \(3\le x\le4\)

\(A=x\left(x+2\right)+2\left(x-\frac{3}{2}\right)\)

\(=x^2+2x+2x-3\)

\(=x^2+4x-3\)

\(=x^2+4x+4-7=\left(x+2\right)^2-7\ge-7\)

Dau "=" xra  <=> x = -7

Vay...

G = \(\dfrac{x^2}{x-1}\)

= \(\dfrac{x^2-4x+4+4x-4}{x-1}\)

= \(\dfrac{\left(x-2\right)^2+4\left(x-1\right)}{x-1}\)

= \(\dfrac{\left(x-2\right)^2}{x-1}+4\)

Vì x>1 nên \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2\text{≥}0\\x-1>0\end{matrix}\right.\)

=> G ≥ 4

=> G = 4 đạt GTNN

Dấu bằng xảy ra <=> \(\left(x-2\right)^2=0\)

<=> \(x=2\)

\(Do\) \(x>2\)

\(=>\left\{{}\begin{matrix}x-2\text{ ≥0}\\2x-1>0\end{matrix}\right.\)

\(=>\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\text{ ≥0}\)

\(< =>2x^2-5x+2\text{≥}0\)

\(< =>2x^2+2\text{≥}5x\)

\(< =>2x+\dfrac{2}{x}\text{≥}5\)

\(< =>x+\dfrac{1}{x}\text{≥}2,5\)

\(< =>H\text{≥}2,5\)

\(< =>H=5\) \(đạt\) \(GTNN\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x-2=0< =>x=2\)

\(K=x^2+\dfrac{1}{x}\)

\(=\dfrac{53x^3}{54}+\left(\dfrac{x^2}{54}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương

\(\dfrac{x^2}{54}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}\text{≥}3.\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{54}.\dfrac{1}{2x}.\dfrac{1}{2x}}\)\(\text{≥}\dfrac{53.9}{54}+3.\sqrt[3]{54.4}\)\(=\dfrac{28}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2}{54}=\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{2x}\\x=3\end{matrix}\right.\)\(< =>x=3\)

\(D=3+\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=3+\left|1-x\right|+\left|x+2\right|\ge3+\left|1-x+x+2\right|=3+3=6\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(-2\le x\le1\)

\(H=3-\left|x-1\right|-\left|x+2\right|=3-\left(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|\right)=3-\left(\left|1-x\right|+\left|x+2\right|\right)\le3-\left|1-x+x+2\right|=3-3=0\)Dấu "=" xảy ra khi: \(-2\le x\le1\)