Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(m-2< 0\Leftrightarrow m< 2\).

Câu 25: \(ĐK:m\ne0\)

PT có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta=4\left(m-2\right)^2-4m\left(m-3\right)>0\\ \Leftrightarrow4m^2-16m+16-4m^2+12m>0\\ \Leftrightarrow16-4m>0\Leftrightarrow m< 4\)

Vậy \(m< 4;m\ne0\)

Thay $x=-1$ vào phương trình $x^2-(3m+1)x+m-5=0$

$\Rightarrow (-1)^2-(3m+1).(-1)+m-5=0\\\Leftrightarrow 1+3m+1+m-5=0\\\Leftrightarrow 4m-3=0\\\Leftrightarrow 4m=3\\\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}$

Vậy $m=\dfrac{3}{4}$

Với \(x=-1\) thì phương trình đã cho trở thành:
\(\left(-1\right)^2-\left(3m+1\right)\left(-1\right)+m-5=0\)
\(\Leftrightarrow1+3m-1+m-5=0\)
\(\Leftrightarrow4m-5=0\)
\(\Leftrightarrow4m=5\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{4}\)
Vậy \(m=\dfrac{5}{4}\) khi phương trình có nghiệm \(x=-1\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=1-m+4\ge0\\x_1+x_2=-\dfrac{1}{2}< 0\\x_1.x_2=m-4>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le5\\m>4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4< m\le5\)

Ta có: $a=m-1,b'=m-1,c=m-3$

$\Delta '=b'^2-ac\\=(m-1)^2-(m-1)(m-3)\\=m^2-2m+1-(m^2-4m+3)\\=m^2-2m+1-m^2+4m-3\\=2m-2$

Vì phương trình vô nghiệm

$\Rightarrow \Delta '<0\\\Leftrightarrow 2m-2<0\\\Leftrightarrow 2m<2\\\Leftrightarrow m<1$

Vậy $m<1$

a, \(\Delta=m^2-4\left(-4\right)=m^2+16\)> 0 

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb 

b, Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\)

Thay vào ta được \(m^2-2\left(-4\right)=5\Leftrightarrow m^2+3=0\left(voli\right)\)

Phương trình (1):

+ Vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ 1 – 2m < 0 ⇔ 2m > 1 ⇔ m > 

+ Có nghiệm kép ⇔ Δ’ = 0 ⇔ 1 – 2m = 0 ⇔ m = 

+ Có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ > 0 ⇔ 1 – 2m > 0 ⇔ 2m < 1 ⇔ m < 

Vậy: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m < ; có nghiệm kép khi m =  và vô nghiệm khi m > 

\(x^2-mx+m-2=0\) ₍₁₎  (a=1;b=-m;c=m-2)

\(\Delta=b^2-4ac=m^2-4.\left(-m\right).\left(m-2\right)\)

\(=m^2+4m^2-8m\)

=5m²-8m

Đến đây đưa về hằng đẳng thức mà ra dấu (-) bn xem đề có sai ko

\(\Delta=m^2-4>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -2\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet: \(x_1x_2=1\)

Mặt khác \(x_1\) là nghiệm pt nên:

\(x_1^2-mx_1+1=0\Rightarrow x_1^2+1=mx_1\)

Do đó:

\(x_2\left(x_1^2+1\right)=5\Leftrightarrow x_2.mx_1=5\)

\(\Leftrightarrow m.1=5\Rightarrow m=5\)