1 

Ez lắm =)

Bài 1:

Với mọi gt \(x,y\in Q\) ta luôn có: 

\(x\le\left|x\right|\) và \(-x\le\left|x\right|\) 

\(y\le\left|y\right|\) và \(-y\le\left|y\right|\Rightarrow x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\) và \(-x-y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

Hay: \(x+y\ge-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)

Do đó: \(-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\le x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

Vậy: \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(xy\ge0\)

Bài 3: 

Ta có: \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\) (vì a + b + c = 1)

Do đó: \(\left(x+y+z\right)^2=\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\) (vì a² + b² + c² = 1)

Vậy: (x + y + z)² = x² + y² + z²

\(\frac{\left(ax+by+cz\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow\left(ax+by+cz\right)^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2\left(abxy+bcyz+cazx\right)=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)\(\Leftrightarrow a^2y^2-2ay\cdot bx+b^2x^2+b^2z^2-2bz\cdot cy+c^2y^2+a^2z^2-2az\cdot cx+c^2x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(az-cx\right)^2=0\)

mà \(\left(ay-bx\right)^2;\left(bz-cy\right)^2;\left(az-cx\right)^2\ge0\)nên \(\left(ay-bx\right)^2=\left(bz-cy\right)^2=\left(az-cx\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ay=bx\\bz=cy\\az=cx\end{cases}\Leftrightarrow\frac{a}{x}}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\left(x,y,z\ne0\right)\)(ĐPCM)

Bạn ko hiểu chỗ nào cứ hỏi lại mình nhé

Bài 1:

\(A=\frac{a+b}{b+c}.\)

Ta có:

\(\frac{b}{a}=2\Rightarrow\frac{b}{2}=\frac{a}{1}\) (1)

\(\frac{c}{b}=3\Rightarrow\frac{c}{3}=\frac{b}{1}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{b}{2}=\frac{c}{6}.\)

\(\Rightarrow\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{6}=\frac{a+b}{3}=\frac{b+c}{8}.\)

\(\Rightarrow A=\frac{a+b}{b+c}=\frac{3}{8}\)

Vậy \(A=\frac{a+b}{b+c}=\frac{3}{8}.\)

Bài 2:

a) \(\frac{72-x}{7}=\frac{x-40}{9}\)

\(\Rightarrow\left(72-x\right).9=\left(x-40\right).7\)

\(\Rightarrow648-9x=7x-280\)

\(\Rightarrow648+280=7x+9x\)

\(\Rightarrow928=16x\)

\(\Rightarrow x=928:16\)

\(\Rightarrow x=58\)

Vậy \(x=58.\)

b) \(\frac{x+4}{20}=\frac{5}{x+4}\)

\(\Rightarrow\left(x+4\right).\left(x+4\right)=5.20\)

\(\Rightarrow\left(x+4\right).\left(x+4\right)=100\)

\(\Rightarrow\left(x+4\right)^2=100\)

\(\Rightarrow x+4=\pm10.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+4=10\\x+4=-10\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10-4\\x=\left(-10\right)-4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=-14\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x\in\left\{6;-14\right\}.\)

Chúc bạn học tốt!

Bài 2:

a, \(\frac{72-x}{7}=\frac{x-40}{9}\)

\(\Rightarrow\left(72-x\right).9=\left(x-40\right).7\)

\(\Rightarrow9.72-9.x=7.x-7.40\)

\(\Rightarrow648-9x=7x-280\)

\(\Rightarrow-9x-7x=-280-648\)

\(\Rightarrow-16x=-648\)

\(\Rightarrow x=58\)

Vậy \(x=58\)

tự ra câu hởi tự trả lời à bạn

tại tui trả lời bài này cho 1 bạn ở trên facebook nên phải chụp màn hình lại nên làm v á

\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

CM bđt phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( luôn đúng ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)

Chúc bạn học tốt ~ 

1) \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)

BĐT cần cm trở thành:

\(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\ge3\)

Theo AM-GM, VT>=6/2=3

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

2)\(x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x^2\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)

=>\(P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{x}=a\\y\sqrt{y}=b\\z\sqrt{z}=c\end{matrix}\right.\Rightarrow abc=1\)

=>\(P\ge\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}\ge2.1=2\)

(Dùng Cauchy-Schwartz chứng minh được:

\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge1\))

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 <=> x=y=z=1

Vậy minP=2<=>x=y=z=1

\(M=5\left(x+y+z\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)+2.\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(M\ge5.\left(\frac{3}{4}\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=5.\frac{9}{16}+\frac{\frac{9}{16}}{3}+2.\frac{9}{\frac{4.3}{4}}=9\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/4  ( cái này bạn tự giải rõ nhé)

:D. cái gì đây

tự hỏi tự trả lời ? 

Lại còn " cái này bn tự giải rõ nhé " :v