Ta có:

\(2222\equiv-4\left(mod7\right)\Rightarrow2222^{5555}\equiv\left(-4\right)^{5555}\left(mod7\right)\left(1\right)\)

\(5555\equiv4\left(mod7\right)\Rightarrow5555^{2222}\equiv4^{2222}\left(mod7\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow2222^{5555}+5555^{2222}\equiv\left(-4\right)^{5555}+4^{2222}\left(mod7\right)\)

Mà (-4)⁵⁵⁵⁵ + 4²²²² = -4²²²².(4³³³³ - 1) = -4²²²².[(4³)¹¹¹¹ - 1] = -4²²²².(64¹¹¹¹ - 1)

Lại có: \(64\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow64^{1111}\equiv1\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow64^{1111}-1\equiv1-1\left(mod7\right)\) hay \(64^{1111}-1⋮7\)

\(\Rightarrow-4^{2222}.\left(64^{1111}-1\right)⋮7\)

hay \(2222^{5555}+5555^{2222}⋮7\left(đpcm\right)\)

Lời giải:
a)

$a\equiv 1\pmod 2$ nên $a$ có dạng $2k+1$ $(k\in\mathbb{Z}$

Khi đó:

$a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1$

Vì $k(k+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên $k(k+1)\vdots 2$

$\Rightarrow 4k(k+1)\vdots 8$

$\Rightarrow a^2=4k(k+1)+1$ chia $8$ dư $1$ hay $a^2\equiv 1\pmod 8$

b)

$a\equiv 1\pmod 3\Rightarrow a-1\equiv 0\pmod 3(1)$ hay

Lại có:

$a\equiv 1\pmod 3\Rightarrow a^2+a+1\equiv 1+1+1\equiv 0\pmod 3(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow (a-1)(a^2+a+1)\equiv 0\pmod 9$

hay $a^3-1\equiv 0\pmod 9\Leftrightarrow a^3\equiv 1\pmod 9$

32 đồng dư với 1 ( mod 31 )

2⁵ đồng dư với 1 ( mod 31 )

(2⁵)³⁹⁹ đồng dư với 1 ( mod 31 )

2¹⁹⁹⁵ đồng dư với 1 ( mod 31 )

2¹⁹⁹⁵ - 1 đồng dư với 0 ( mod 31 )

=>2¹⁹⁹⁵ -1 chia hết cho 31

Xét : x^2-1 = (x-1).(x+1)

x ko chia hết cho 3 nên x chia 3 dư 1 hoặc 2

Nếu x chia 3 dư 1 => x-1 chia hết cho 3 => x^2-1 chia hết cho 3

Nếu x chia 3 dư 2 => x+1 chia hết cho 3 => x^2-1 chia hết cho 3

Vậy x^2-1 chia hết cho 3 với mọi x ko chia hết cho 3 , x thuộc Z

=> với mọi x ko chia hết cho 3 , x thuộc Z thì x^2 đồng dư vơi 1 (mod 3)

Tk mk nha

Giải rồi trả lời cái j nữa 

Bó tay

Cách 1

Vì x chia 4 dư 1

\(\Rightarrow x^2\) chia 4 dư 1 hay \(x^2=4k+1\)

\(\Rightarrow x^2-4n+5=4k+1-4n+5=4k-4n-4\)

Vì 4k chia hết cho 4 ; 4n chia hết cho 4 ; 4 chia hết cho 4

\(\Rightarrow x^2-4n-5\) chia hết cho 4

Cách 2

Ta có

\(x^2-4n-5=\left(x^2-1\right)-4n-4\)

\(=\left(x+1\right)\left(x-1\right)-4n-4\)

Vì x chia 4 dư 1

=> x- 1 chia hết cho 4

=>\(x^2-4n+5\) chia hết cho 4