\(ĐK:sinx-cosx\ne-2\)

\(< =>2y-1=sinx\left(1-y\right)+cosx\left(y+3\right)\)

Theo Bunhiacopxki:

\(\left[sinx\left(1-y\right)+cosx\left(y+3\right)\right]^2\)\(\le\left(sin^2x+cos^2x\right)\left[\left(1-y\right)^2+\left(y+3\right)^2\right]\)

\(< =>\left(2y-1\right)^2\le2y^2+4y+10\)

\(< =>2y^2-8y-9\le0\)

=> Bấm máy tìm Max, Min của y

(Sry máy tính của t bị ngáo không bấm ra)

\(\Rightarrow y.sinx-y.cosx+2y=sinx+3cosx+1\)

\(\Rightarrow\left(y-1\right)sinx-\left(y+3\right)cosx=1-2y\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất

\(\Rightarrow\left(y-1\right)^2+\left(y+3\right)^2\ge\left(1-2y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2y^2-8y-9\le0\)

\(\Rightarrow\dfrac{4-\sqrt{34}}{2}\le y\le\dfrac{4+\sqrt{34}}{2}\)

\(y_{max}=\dfrac{4+\sqrt{34}}{2}\) ; \(y_{min}=\dfrac{4-\sqrt{34}}{2}\)

\(y=\dfrac{sinx+3cosx+1}{sinx-cosx+2}\)

\(\Leftrightarrow y.sinx-y.cosx+2y=sinx+3cosx+1\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)sinx-\left(y+3\right).cosx=1-2y\)

Phương trình có nghiệm khi \(\left(y-1\right)^2+\left(y+3\right)^2\ge\left(1-2y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y+1+y^2+6y+9\ge4y^2-4y+1\)

\(\Leftrightarrow2y^2-8y-9\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4-\sqrt{34}}{2}\le y\le\dfrac{4+\sqrt{34}}{2}\)

\(y=\sqrt{\left(sinx+cosx\right)^2+2\cdot sinx\cdot cosx+2}\)

\(=\sqrt{1+2sinx\cdot cosx+2\cdot sinx\cdot cosx+2}\)

\(=\sqrt{3+2sin2x}\)

\(-1< =sin2x< =1\)

=>\(-2< =2\cdot sin2x< =2\)

=>\(-2+3< =2\cdot sin2x+3< =5\)

=>\(1< =2\cdot sin2x+3< =5\)

=>\(1< =\sqrt{2\cdot sin2x+3}< =\sqrt{5}\)

=>\(1< =y< =\sqrt{5}\)

\(y_{min}=1\) khi \(sin2x=-1\)

=>\(2x=-\dfrac{\Omega}{2}+k2\Omega\)

=>\(x=-\dfrac{\Omega}{4}+k\Omega\)

\(y_{max}=\sqrt{5}\) khi sin 2x=1

=>\(2x=\dfrac{\Omega}{2}+k2\Omega\)

=>\(x=\dfrac{\Omega}{4}+k\Omega\)

Đáp án C

Đặt t = tan x 2 ta có: y = sin x + 2 cos x + 1 s i n x + cos x + 2

= 2 t 1 + t 2 + 2 1 − t 2 1 + t 2 + 1 2 t 1 + t 2 + 1 − t 2 1 + t 2 + 2 = − t 2 + 2 t + 3 t 2 + 2 t + 3  

Tập các giá trị của y là tập các giá tri làm cho PT y = − t 2 + 2 t + 3 t 2 + 2 t + 3 ⇔ y + 1 t + 2 y − 1 t + 3 y − 1 = 0  có nghiệm với ẩn t

⇒ Δ ' = y − 1 2 − 3 y + 1 y − 1 = − 2 y 2 − 2 y + 4 ≥ 0 ⇒ − 2 ≤ y ≤ 1 ⇒ m = − 2 , M = 1

Đáp án B

Đáp án A