Question

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{\left(sinx+cosx\right)^2+2sinx.cosx+2}\)

Answer 1

\(y=\sqrt{\left(sinx+cosx\right)^2+2\cdot sinx\cdot cosx+2}\)

\(=\sqrt{1+2sinx\cdot cosx+2\cdot sinx\cdot cosx+2}\)

\(=\sqrt{3+2sin2x}\)

\(-1< =sin2x< =1\)

=>\(-2< =2\cdot sin2x< =2\)

=>\(-2+3< =2\cdot sin2x+3< =5\)

=>\(1< =2\cdot sin2x+3< =5\)

=>\(1< =\sqrt{2\cdot sin2x+3}< =\sqrt{5}\)

=>\(1< =y< =\sqrt{5}\)

\(y_{min}=1\) khi \(sin2x=-1\)

=>\(2x=-\dfrac{\Omega}{2}+k2\Omega\)

=>\(x=-\dfrac{\Omega}{4}+k\Omega\)

\(y_{max}=\sqrt{5}\) khi sin 2x=1

=>\(2x=\dfrac{\Omega}{2}+k2\Omega\)

=>\(x=\dfrac{\Omega}{4}+k\Omega\)