CM bất đẳng thức :
\(x^2+y^2\ge2\) với \(x+y=2\)
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh bất đẳng thức sau:
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\times\left(x+y+z\right)\)
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có : \(x^2+1\ge2x\) (1)
\(y^2+1\ge2y\) (2)
\(z^2+1\ge2z\) (3)
Cộng các vế của (1) (2) (3) ta được :
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Xem thêm câu trả lời
a)cm bất đẳng thức:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)(x;y cùng dấu)
b)tìm GTNN của biểu thức sau.P=\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)(với x\(\ne\)0;y\(\ne\)0)
bất đẳng thức cosy 2 số không âm
áp dụng bất đẳng thức: \(x^2+y^2\ge2\cdot\sqrt{x\cdot y}\)
1) \(\frac{\sqrt{5}}{x+\frac{5}{x}}\le\frac{1}{2}\)
CM: X^2+Y^2+X^2*Y^2+1=4*X*Y giải bằng bất đẳng thức cosi
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}\ge2xy\)
\(x^2y^2+1\ge2\sqrt{x^2y^2.1}\ge2xy\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+x^2.y^2+1\ge2xy+2xy=4xy\)
chứng minh bất đẳng thức
\(x^2+y^2+z^2\ge2\left(xy-xz+yz\right)\)
Từ đề bài suy ra:\(x^2+y^2+z^2-2xy+2xz-2yz\ge0\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(x+z\right)^2+\left(y-z\right)^2\ge0\)
Đẳng thức này đúng với mọi số x,y,z
Vậy \(x^2+y^2+z^2\ge2\left(xy-xz+yz\right)\) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
x,y,z phải là các cạnh trong tam giác chơ
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh các bất đẳng thức sau: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\left(\forall x,y>0\right)\)
Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã được chứng minh
Đúng 5
Bình luận (0)
Cách khác so với anh Nguyễn Việt Lâm
Ta có: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}}=2\) (đpcm)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cm bất đẳng thức sau vs x, y, z>_0.
3(x^2+y^2+z^2)>_(x+y+z)^2
Biến đổi tương đương:
\(3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Đúng 0
Bình luận (0)
1) Cho m, n 0, bất đẳng thức left(m+nright)^2ge4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?
A. left(m-nright)^2+m+nge0
B. nleft(m-1right)^2+mleft(n-1right)^2ge0
C. left(m+nright)^2+m+nge0
D. Tất cả đều đúng.
2) Với giá trị nào của m thì bất phương trình mx+m 2n vô nghiệm?
3) Với hai số x,y dương thỏa xy 36, bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. x+yge2sqrt{xy}12
B. left(dfrac{x+y}{2}right)^2xy36
C. x+yge2sqrt{xy}72
D. Tất cả đều đúng
Đọc tiếp
1) Cho m, n > 0, bất đẳng thức \(\left(m+n\right)^2\ge4mn\) tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?
A. \(\left(m-n\right)^2+m+n\ge0\)
B. \(n\left(m-1\right)^2+m\left(n-1\right)^2\ge0\)
C. \(\left(m+n\right)^2+m+n\ge0\)
D. Tất cả đều đúng.
2) Với giá trị nào của m thì bất phương trình \(mx+m< 2n\) vô nghiệm?
3) Với hai số x,y dương thỏa xy = 36, bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. \(x+y\ge2\sqrt{xy}=12\)
B. \(\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2>xy=36\)
C. \(x+y\ge2\sqrt{xy}=72\)
D. Tất cả đều đúng
Cm bất đẳng thức sau vs x, y, z>_0
4(x^2+y^2+z^2)>_(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2
Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow4x^2+4y^2+4z^2\ge2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Đúng 0
Bình luận (0)
A no thơ quay nhưng lại không hay:P(Another way)
\(BĐT\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) (biến đổi tương đương thôi)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{4}\left(x+y-2z\right)^2\ge0\) (true)
Đẳng thức xảy ra khi x =y = z
P/s: cách này làm màu thôi :D
Đúng 0
Bình luận (0)
Thực ra mấy dạng bậc 2 kiểu này theo em thì dùng công thức \(at^2+bt+c=a\left(t+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\) (bằng cách đưa về đa thức biến t)
Chi tiết như sau:(sai chỗ nào bl cho em biết cái nha:D)
BĐT \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow x^2-x\left(y+z\right)+y^2+z^2-yz\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{y+z}{2}\right)^2+\frac{4\left(y^2+z^2-yz\right)-\left(y+z\right)^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(2x-y-z\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2\ge0\)
Đúng 0
Bình luận (0)