Ban dung phuong phap the ban cho x= 1 di roi the vao ta duoc so du la 0 roi the tiep x=x+1=1+1=2 tiep tuc duoc du =0 vay =>>>>>voi moi x thi dc so du luon bang 0

Ta thấy 

\(f\left(x\right):g\left(x\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^{100}+x^{99}+x^{98}+x^5+2020\right):\left(x^2-1\right)\)

\(=\left(x^{98}+x^{97}+2x^{96}+2x^{95}+...2x^4+3x^3+2x^2+3x+2\right)\) có số dư là \(R\left(x\right)=3x+2022\)

\(\Rightarrow R\left(2021\right)=3.2021+2022=8085\)

số dư là -1

Dư trong phép chia cho  \(x^2-x=x\left(x-1\right)\)  là hằng số.

Gọi thương của phép chia là  \(Q\left(x\right)\)  và dư là  \(r\), với mọi  \(x\)  ta có:

\(f\left(x\right)=\left(x^2+x-1\right)^{10}+\left(x^2-x+1\right)^{10}=\left(x^2-x\right).Q\left(x\right)+\left(ax+b\right)\)  

Với  \(x=0\)  thì  \(f\left(0\right)=\left(0^2+0-1\right)^{10}+\left(0^2-0+1\right)^{10}=\left(0^2-0\right).Q\left(0\right)+r\)

Khi đó,  \(2=r\)

Với  \(x=1\)  thì  \(f\left(1\right)=\left(1^2+1-1\right)^{10}+\left(1^2-1+1\right)^{10}=\left(1^2-1\right).Q\left(1\right)+r\)

Do đó,   \(2=r\)

Vậy,  số dư của phép chia là  \(2\)

Lời giải:

Sử dụng bổ đề. Với $f(x)$ có hệ số nguyên thì $f(a)-f(b)\vdots a-b$ với $a,b$ là nguyên khác nhau.

Áp dụng vào bài toán, ta dễ dàng chỉ ra $g(x^3)-g(-1)\vdots x^3+1\vdots x^2-x+1(1)$

Giả sử $f(x)=x^2+xg(x^3)\vdots x^2-x+1$

$\Leftrightarrow g(x^3)+x\vdots x^2-x+1(2)$

$(1);(2)\Rightarrow x+g(-1)\vdots x^2-x+1$ (vô lý)

Do đó ta có đpcm.