Cho các số dương x,y,z,t có tổng bằng 2. Tìm GTNN của \(B=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)
cho x;y;z;t là các số thực dương thỏa mãn x+y+z+t=2 HÃY TÌM GTNN của
A= \(\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}{xyzt}\)
Ta có:
\(4A=\frac{\left(x+y+z+t\right)^2\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)
\(\ge\frac{4\left(x+y+z\right)t\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)
\(=\frac{4\left(x+y+z\right)^2\left(x+y\right)}{xyz}\ge\frac{16\left(x+y\right)z\left(x+y\right)}{xyz}\)
\(=\frac{16\left(x+y\right)^2}{xy}\ge\frac{64xy}{xy}=64\)
\(\Rightarrow A\ge16\)
Đấu = xảy ra khi \(t=2z=4x=4y=1\)
x;y;z;t >0 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có :
=\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
=\(\left(x+y\right)+z\ge2\sqrt{\left(x+y\right)z}\)
=\(\left(x+y+z\right)+t\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right)t}\)
nhân các vế tương ứng ta có:
\(\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+t\right)\ge8\sqrt{xyzt\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\)
mà x+y+z+t=2
\(\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)2\ge8\sqrt{xyzt\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\)
=\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\ge4\sqrt{xyzt}\)
=\(\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\ge16xyzt\)
\(\Rightarrow B=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}{xyzt}\ge\frac{16xyzt}{xyzt}=16\)
vậy minB=16 khi\(\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=z\\x+y+z=t\end{cases}};x+y+z+t=2\Rightarrow x=y=0.25;z=0.5;t=1\)
a) Cho các số dương x, y, z có tổng bằng 1. Tìm GTNN của \(A=\dfrac{x+y}{xyz}\)
b) Cho các số dương x, y, z, t có tổng bằng 2.
Tìm GTNN của \(B=\dfrac{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)
a) x+y+z=1
⇔[(x+y)+z]2=1
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có
(a+b)+c ≥ 2\(\sqrt{\left(a+b\right)c}\)
⇔[(a+b)+c)]2 \(\ge4\left(a+b\right)c\)
⇔1 ≥ 4(a+b)c
nhân cả 2 vế cho số dương \(\dfrac{x+y}{xyz}\) được
\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4\left(x+y\right)^2c}{xyz}\)
⇔\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4z.4xy}{xyz}=16\)
Min A =16 khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=z\\x=y\\x+z+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4};z=\dfrac{1}{2}}\)
Cho x,y,z,t dương và x+y+z+t=1. Tìm GTNN của biểu thức: \(B=\dfrac{\left(x+y+z\right).\left(x+y\right)}{xyzt}\)
\(B\ge\dfrac{4\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2zt}=\dfrac{4\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)zt}\ge\dfrac{16\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2t}\)
\(B\ge\dfrac{16}{\left(x+y+z\right)t}\ge\dfrac{64}{\left(x+y+z+t\right)^4}=64\)
\(B_{min}=64\) khi \(\left(x;y;z;t\right)=\left(\dfrac{1}{8};\dfrac{1}{8};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\)
Cho x,y,z,t dương và x+y+z+t=1. Tìm GTNN của biểu thức: \(B=\dfrac{\left(x+y+z\right).\left(x+y\right)}{xyzt}\)
Áp dụng BĐT Cô si ta có :
+) \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
+) \(\left(x+y\right)+z\ge2\sqrt{\left(x+y\right)z}\)
+) \(\left(x+y+z\right)+t\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right)t}\)
Nhân từng vế với vế của các BĐT trên ta có :
\(\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+t\right)\ge8\sqrt{xyzt\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\ge8\sqrt{xyzt\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\ge4\sqrt{xyzt}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\ge16xyzt\)
\(\Leftrightarrow B=\dfrac{\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}{xyzt}\ge16\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x+y=z\\x+y+z=t\\x+y+z+t=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{1}{4}\\z=\dfrac{1}{2}\\t=1\end{matrix}\right.\)
Vậy...
(Bắc Ninh)
Cho bốn số dương \(x,y,z,t\) thỏa mãn \(x+y+z+t=2\). Tìm GTNN của \(P=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\).
Ta có:
\(x+y+z+t=2\)
\(\Rightarrow\left[\left(x+y+z\right)+t\right]^2=4\)
Vì \(x,y,z,t>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(\left(x+y+z\right)+t\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right)t}\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(x+y+z\right)+t\right]^2\ge4\left(x+y+z\right)t\)
\(\Leftrightarrow4\ge4\left(x+y+z\right)t\)(vì \(\left[\left(x+y+z\right)+t\right]^2=4\))
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)t\le1\left(1\right)\)
Ta có:
\(P=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}=\frac{1.\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{\left(x+y+z\right)t\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)(vì (1))
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2\left(x+y\right)}{xyz}\left(2\right)\)
Đặt \(\frac{\left(x+y+z\right)^2\left(x+y\right)}{xyz}=A\)thì \(P\ge A\)
Vì \(x,y,z>0\)nên áp dụng bất đẳng thúc Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(\left(x+y\right)+z\ge2\sqrt{\left(x+y\right)z}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge4\left(x+y\right)z\)
Do đó:
\(A=\frac{\left(x+y+z\right)^2\left(x+y\right)}{xyz}\ge\frac{4\left(x+y\right)z\left(x+y\right)}{xyz}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{4\left(x+y\right)^2}{xy}\left(3\right)\)
Từ (2) và (3), ta được:
\(P\ge\frac{4\left(x+y\right)^2}{xy}\left(4\right)\)
Vì \(x,y>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2\ge16xy\)
\(\Leftrightarrow\frac{4\left(x+y\right)^2}{xy}\ge\frac{16xy}{xy}=16\left(5\right)\)
Từ (4) và (5), ta được:
\(P\ge16\)
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y>0\\x+y=z>0\\x+y+z=t>0\end{cases}}\)
Mà \(x+y+z+t=2\)nên:
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{4}\\z=\frac{1}{2}\\t=1\end{cases}}\)
Vậy \(minP=16\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4};z=\frac{1}{2};t=1\)
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=3. Tìm GTNN của biểu thức
\(P=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}+\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{x+y}+\)\(\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{y+z}\)
Cho 4 số thực dương x,y,z,t thỏa mãn x+y+z+t=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=\(\frac{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)
Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn : x+y+z = 1. Tìm GTNN của biểu thức:\(A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Toán hóc búa nè cho mấy ckế thoải mái mà làm, ai làm đúng thì tui tick cho thật nhiều:
Bài 1,cho a,b,c là các số dương . Tìm GTNN của :
a,\(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b};\)
b,\(B=\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{a}+\frac{b}{a+c}+\frac{a+c}{b}+\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{c}\)
Bài 2: a,cho các số dương x,y,z có tổng bằng 1. Tìm GTNN của:
\(A=\frac{x+y}{xyz}\)
b, cho các số dương x,y,z,t có tổng bằng 2. Tìm GTNN của
\(B=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)
Bài 3 : Tìm GTNN của \(A=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)biết rằng \(x,y,z\) là các số dương và \(x^2+y^2+z^2\le3\)
Bài 4: a, Tìm GTLN của tích xy với x,y là các số dương, \(y\ge6\)và \(x+y=100\)
b, Tìm GTLN của tích xyz với x,y,z là các số dương,\(z\ge6\)và \(x+y+z=100\)
Bài 1:a,
A=a/b+c + b/a+c + c/a+b = a^2/ab+ac + b^2/ab+bc + c^2/ac+bc
Áp dụng BĐT dạng Angel : A > hoặc = (a+b+c)^2/ab+ac+ab+bc+ac+bc=(a+b+c)^2/2(ab+bc+ca) > hoặc = 3(ab+bc+ca)/2(ab+bc+ca)=3/2
b,làm tt câu a