Question

a) Cho các số dương x, y, z có tổng bằng 1. Tìm GTNN của \(A=\dfrac{x+y}{xyz}\)

b) Cho các số dương x, y, z, t có tổng bằng 2.

Tìm GTNN của \(B=\dfrac{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)

Answer 1

a) x+y+z=1

⇔[(x+y)+z]²=1

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có

(a+b)+c ≥ 2\(\sqrt{\left(a+b\right)c}\)

⇔[(a+b)+c)]² \(\ge4\left(a+b\right)c\)

⇔1 ≥ 4(a+b)c

nhân cả 2 vế cho số dương \(\dfrac{x+y}{xyz}\) được

\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4\left(x+y\right)^2c}{xyz}\)

⇔\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4z.4xy}{xyz}=16\)

Min A =16 khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=z\\x=y\\x+z+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4};z=\dfrac{1}{2}}\)