Xét (O'): \(O'A\perp AB\) tại A và O'A là bán kính.

\(\Rightarrow\)AB là tiếp tuyến của (O') tại A.

\(\Rightarrow\widehat{NAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AN.

Mặt khác \(\widehat{AMN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN.

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{NAB}\left(1\right)\)

Xét (O): \(\widehat{AMC}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}\right)\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\widehat{NAB}=\widehat{ABC}\) nên AN//BC.

a.

Gọi D là trung điểm BC \(\Rightarrow OD\perp BC\)

Gọi E là trung điểm AM \(\Rightarrow OE\perp AM\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác OEMD là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)

\(\Rightarrow MD=OE\) và \(ME=OD\)

\(MA^2+MB^2+MC^2=MA^2+\left(BD-MD\right)^2+\left(DC+MD\right)^2\)

\(=\left(2ME\right)^2+\left(BD-MD\right)^2+\left(BD+MD\right)^2\) (do \(BD=CD\))

\(=4ME^2+2BD^2+2MD^2\)

\(=2\left(ME^2+BD^2\right)+2\left(ME^2+MD^2\right)\)

\(=2\left(OD^2+BD^2\right)+2\left(OD^2+MD^2\right)\)

\(=2OB^2+2OM^2\)

\(=2R^2+2r^2\) cố định (đpcm)

b. Gọi G là giao điểm OM và AD

Theo c/m câu a ta có \(\left\{{}\begin{matrix}OD||AM\\OD=EM=\dfrac{1}{2}AM\end{matrix}\right.\) 

Theo định lý Talet: \(\dfrac{DG}{AG}=\dfrac{OD}{AM}=\dfrac{OG}{GM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AG=\dfrac{2}{3}AD\\OG=\dfrac{1}{3}OM\end{matrix}\right.\)

Do O, M cố định \(\Rightarrow\) G cố định

Mặt khác trong tam giác ABC do D là trung điểm AB \(\Rightarrow\) AD là trung tuyến

Mà \(AG=\dfrac{2}{3}AD\Rightarrow\) G là trọng tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow\) Trọng tâm tam giác ABC cố định

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

=>ΔACB vuông tại C

ΔOCD cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của CD

=>IC=ID=CD/2=8cm

Xét ΔCAB vuông tại C cso CI là đường cao

nên CI^2=IA*IB

=>8^2=6*IB

=>IB=64/6=32/3(cm)

AB=IB+IA=32/3+6=50/3(cm)

=>R=50/3:2=25/3(cm)

a: Xét tứ giác MAOD có 

\(\widehat{MAO}+\widehat{ODM}=180^0\)

Do đó: MAOD là tứ giác nội tiếp