\(B=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{2009}+3^{2010}\)

\(=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{2009}+3^{2010}\right)\)

\(=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{2009}\left(1+3\right)\)

\(=4.\left(3+3^3+...+3^{2009}\right)\)

⇒ \(B\) ⋮ 4

b: \(C=5\left(1+5+5^2\right)+...+5^{2008}\left(1+5+5^2\right)=31\cdot\left(5+...+5^{2008}\right)⋮31\)

a) Ta có:

 S=5¹+5²+5³+...+5⁹⁶ gồm 96 số hạng

   =(5¹+5²+...+5⁶)+(5⁷+5⁸+...+5¹²)+...+(5⁹¹+5⁹²+...+5⁹⁶)

   =(5¹+5²+...+5⁶)+5⁶.(5¹+5²+...+5⁶)+...+5⁸⁵.(5¹+5²+...+5⁶)

   =19530+5⁶.19530+...+5⁸⁵.19530

   =19530.(1+5⁵+...+5⁸⁵)

 Vậy: S chia hết cho 126(Vì 19530 chia hết cho 126)

 b) Vì S chia hết cho 19530 nên S có tận cùng bằng 0(19530=1953.10)

\(S=5+5^2+5^3+...+5^{2008}\)

a) Ta có: \(126=5^0+5^3\)

\(5+5^4=5\left(5^0+5^3\right)\text{ }⋮\text{ }126,\text{ }5^2+5^5=5^2\left(5^0+5^3\right)\text{ }⋮\text{ }126,...\)

Áp dụng lần lượt như thế, ta có:

\(\left(5+5^4\right)+\left(5^2+5^5\right)+\left(5^3+5^6\right)+\left(5^7+5^{10}\right)+\left(5^8+5^{11}\right)+\left(5^9+5^{12}\right)+...+\left(5^{2005}+5^{2008}\right)\text{ }⋮\text{ }126\)

Còn thiếu \(5^{2006}+5^{2007}\), ta có: \(5^{2006}+5^{2007}=5^{2006}\left(5^0+5^1\right)=5^{2006}\cdot6=2\cdot3\cdot5^{2006}\)

Trong khi đó: \(126=2\cdot3^2\cdot7\)

Ta dễ thấy \(5^{2006}+5^{2007}\) không chia hết cho \(3\cdot7=21\), nên \(5^{2006}+5^{2007}\) không chia hết cho 126.

Từ đó suy ra S không chia hết cho 126.

b) Tất cả các số hạng đều có chữ số tận cùng là 5.

Biểu thức S có \(\left(2008-1\right)+1=2008\) số hạng cộng lại với nhau.

=> S có chữ số tận cùng là 0 (vì số lượng các số hạng cộng lại với nhau là số chẵn)

Lời giải:
$S=(2+2^2)+(2^3+2^4)+....+(2^{23}+2^{24})$

$=2(1+2)+2^3(1+2)+....+2^{23}(1+2)$

$=(1+2)(2+2^3+...+2^{23})$

$=3(2+2^3+...+2^{23})\vdots 3$

b.

$S=2+2^2+2^3+...+2^{23}+2^{24}$

$2S=2^2+2^3+2^4+....+2^{24}+2^{25}$

$\Rightarrow 2S-S=2^{25}-2$

$\Rightarrow S=2^{25}-2$

Ta có:

$2^{10}=1024=10k+4$

$\Rightarrow 2^{25}-2=2^5.2^{20}-2=32(10k+4)^2-2=32(100k^2+80k+16)-2$
$=10(320k^2+8k+51)\vdots 10$

$\Rightarrow S$ tận cùng là $0$

S = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ... + (2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

= 30 + 2⁴.(2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + 2⁵⁶.(2 + 2² + 2³ + 2⁴)

= 30 + 2⁴.30 + 2⁵⁶.30

= 30.(1 + 2⁴ + ... + 2⁵⁶)

= 10.3.(1 + 2⁴ + ... + 2⁵⁶) ⋮ 10

Vậy chữ số tận cùng của S là 0

*) S = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

= 14 + 2³.(2 + 2² + 2³) + ... + 2⁵⁷.(2 + 2² + 2³)

= 14 + 2³.14 + ... + 2⁵⁷.14

= 14.(1 + 2³ + ... + 2⁵⁷) ⋮ 14

Vậy S ⋮ 14

(5+5^4)+(5^2+5^5)+(5x^3+5x^6)+.....+(5^93+5^96)

5(1+125)+5^2(1+125)+5^3(1+125)+.....+5^93(1+125)

126(5+5^2+5^3+.........+5^93)

b) 5

a,S=5+5²+5³+..........+5⁹⁶

S=(5+5²+5³+5⁴+5⁵+5⁶)+.............+(5⁹¹+5⁹²+5⁹³+5⁹⁴+5⁹⁵+5⁹⁶)

S=5.(1+5+5²+5³+5⁴+5⁵)+............+5⁹¹.(1+5+5²+5³+5⁴+5⁵)

S=5.31.126+..............+5⁹¹.31.126

S=(5.31+..............+5⁹¹.31).126 chia hết cho 126(Đpcm)

b,5S=5²+5³+5⁴+5⁵+...............+5⁹⁷

5S-S=4S=5⁹⁷-5

\(S=\frac{5^{97}-5}{2}\)

Mà 5⁹⁷-5=(5⁴)²⁴.5-5=0625²⁴.5-5=....0625.5-5=..........3125-5=.........3120

=>S=.........3120:2

=>S=............0