1.

\(\left(C\right):x^2+y^2-2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+y^2=5\)

Đường tròn \(\left(C\right)\) có tâm \(I=\left(1;0\right)\), bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Phương trình đường thẳng \(d_1\) có dạng: \(x+y+m=0\left(m\in R\right)\)

Mà \(d_1\) tiếp xúc với \(\left(C\right)\Rightarrow d\left(I;d_1\right)=\dfrac{\left|1+m\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left|m+1\right|=\sqrt{10}\)

\(\Leftrightarrow m=-1\pm\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d_1:x+y-1+\sqrt{10}=0\\d_1:x+y-1-\sqrt{10}=0\end{matrix}\right.\)

2.

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) có dạng: \(x-y+m=0\left(m\in R\right)\)

Ta có: \(d\left(I;\Delta\right)=\sqrt{R^2-\dfrac{MN^2}{4}}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|m+1\right|}{\sqrt{2}}=2\)

\(\Leftrightarrow m=-1\pm2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\Delta:x-y+1+2\sqrt{2}=0\\\Delta:x-y+1-2\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)

3.

Vì \(P\in d\Rightarrow P=\left(m;m+1\right)\left(m\in R\right)\)

\(\Rightarrow IP=\sqrt{\left(m-1\right)^2+\left(m+1\right)^2}=\sqrt{2m^2+2}\)

Ta có: \(cosAIP=cos60^o=\dfrac{R}{IP}=\dfrac{\sqrt{5}}{IP}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow IP=2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2m^2+2}=2\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow2m^2+2=20\)

\(\Leftrightarrow m=\pm3\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}P=\left(3;4\right)\\P=\left(-3;-2\right)\end{matrix}\right.\)

ABC nội tiếp (I) hay (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC vậy nhỉ?

I là tâm đường tròn nội tiếp nên nó là giao 3 đường phân giác

MN vuông góc AI \(\Rightarrow\) tam giác AMN cân tại A \(\Rightarrow IM=IN\)

Ta có: \(\widehat{AMI}=90^0-\widehat{MAI}=90^0-\dfrac{1}{2}\widehat{A}=\dfrac{1}{2}\left(180^0-\widehat{A}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)\)

Mà \(\widehat{AMI}=\widehat{MBI}+\widehat{BIM}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}+\widehat{BIM}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=\dfrac{1}{2}\widehat{B}+\widehat{BIM}\Rightarrow\widehat{BIM}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}=\widehat{NCI}\)

Hoàn toàn tương tự, ta có \(\widehat{CIN}=\widehat{MBI}\)

\(\Rightarrow\Delta MBI\sim\Delta NIC\Rightarrow\dfrac{BM}{IN}=\dfrac{IM}{NC}\Rightarrow BM.CN=IN.IM=IM^2\)

\(\Rightarrow IM^2=50\)

\(\Rightarrow\) M thuộc đường tròn tâm I có phương trình: \(\left(x-1\right)^2+y^2=50\)

Kết hợp M thuộc \(x+y+7=0\) và \(x_M< 0\Rightarrow M\left(-6;-1\right)\)

Tới đây coi như xong rồi

Tính \(\overrightarrow{MP}\Rightarrow\) phương trình AB

Tính \(\overrightarrow{MI}\Rightarrow\) phương trình AI (qua I và vuông góc IM)

\(\Rightarrow\) Tọa độ A

Tính tọa độ N (I là trung điểm MN)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AN}\Rightarrow\) phương trình AC

Gọi A là điểm tiếp xúc của (P) và (D) => A(x ;x)

\(A\left(x;x\right)\in\left(P\right)\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}x^2\Leftrightarrow x^2=4x\Leftrightarrow x^2-4x=0\Leftrightarrow x\left(x-4\right)=0\)

<=> x = 0 hay x =4 

Vậy có hai điểm A thỏa đk là A(0;0) ; A(4;4)

Ta lại có : \(A\left(0;0\right)\in\left(D\right)\Leftrightarrow0=m.0+n\Leftrightarrow n=0\)(1)

\(A\left(4;4\right)\in\left(D\right)\Leftrightarrow4=4m+n\Leftrightarrow n=4-4m\left(2\right)\)

Pt hoành độ giao điểm của (P) và (D) là : \(\frac{1}{4}x^2=mx+n\Leftrightarrow x^2-4mx-4n=0\)

\(\Delta^'=\left(-2m\right)^2+4n=4m^2+4n\)

(P) và (D) tx <=> denta = 0 <=> 4m²+4n =0 (3)

Từ (1) và (3) => m =n =0 => (D) y =0

Từ (2) và (3) => 4m² +4(4 -4m)=0 <=> 4m² -16m+16=0 <=> 4(m² -4m +4)=0 <=> 4(m -2)² =0 <=> m =2 => n = -4

=> (D) y = 2x -4

Vậy có 2 đường thẳng (D) : y = 0 ; y = 2x -4

Lời giải:

a) $y_M=\frac{-x_M^2}{2}=\frac{-(-3)^2}{2}=\frac{-9}{2}$

Đường thẳng $OM$ có dạng: $y=ax$

$\Rightarrow y_M=ax_M\Leftrightarrow \frac{-9}{2}=a.(-3)$

$\Rightarrow a=\frac{3}{2}$

Vậy ĐT $OM$ là: $y=\frac{3}{2}x$

b) Gọi PTĐT $CE$ có dạng $y=ax+b$

PT hoành độ giao điểm giữa $(P)$ và $CE$ là:

$\frac{-x^2}{2}-ax-b=0$

$\Leftrightarrow x^2+2ax+2b=0(*)$

$(P)$ và $CE$ cắt nhau tại 2 điểm có hoành độ $-1;2$ nghĩa là PT $(*)$ nhân $x=-1$ và $x=2$ là nghiệm

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-2a+2b=0\\ 4+4a+2b=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{-1}{2}\\ b=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy PTĐT $CE$ có dạng $y=-\frac{1}{2}x-1$

khó wa

nhưng mk mới học lớp 7 nên chịu