\(25\equiv6\left(mod19\right)\Rightarrow25^n\equiv6^n\left(mod19\right)\)

\(\Rightarrow A=7.25^n+12.6^n\equiv7.6^n+12.6^n\left(mod19\right)\equiv19.6^n\left(mod19\right)\)

Mà \(19.6^n⋮19\Rightarrow A⋮19\)

a, 7 . 5²ⁿ + 12 . 6ⁿ 

= 7 . (5²)ⁿ - 7 . 6ⁿ + 19 . 6ⁿ

= 7 . (25ⁿ - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

= 7 . (25 - 6) . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

= 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

Vì 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) ⋮ 19 và 19 . 6ⁿ ⋮ 19

=> 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ ⋮ 19

=> 7 . 5²ⁿ + 12 . 6ⁿ ⋮ 19

b, 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} 

= 121 . 11ⁿ + 144ⁿ . 12

= 133 . 11ⁿ - 12 . 11ⁿ + 144ⁿ . 12

= 133 . 11ⁿ + 12(144ⁿ - 11ⁿ) 

= 133 . 11ⁿ + 12 . (144 - 11) . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ)

= 133 . 11ⁿ + 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ)

Vì 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ) ⋮ 133 và 133 . 11ⁿ ⋮ 133

=> 133 . 11ⁿ + 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ) ⋮ 133

=> 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} ⋮ 133

          Bài làm :

a) 7 . 5²ⁿ + 12 . 6ⁿ 

= 7 . (5²)ⁿ - 7 . 6ⁿ + 19 . 6ⁿ

= 7 . (25ⁿ - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

= 7 . (25 - 6) . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

= 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

Vì 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) ⋮ 19 và 19 . 6ⁿ ⋮ 19

=> 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ ⋮ 19

=> Điều phải chứng minh

b) 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} 

= 121 . 11ⁿ + 144ⁿ . 12

= 133 . 11ⁿ - 12 . 11ⁿ + 144ⁿ . 12

= 133 . 11ⁿ + 12(144ⁿ - 11ⁿ) 

= 133 . 11ⁿ + 12 . (144 - 11) . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ)

= 133 . 11ⁿ + 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ)

Vì 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ) ⋮ 133 và 133 . 11ⁿ ⋮ 133

=> 133 . 11ⁿ + 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ) ⋮ 133

=> Điều phải chứng minh

\(5^2=25=6\) [19]

\(\Rightarrow A=7.6^n+12.6^n=19.6^n\) [19]

Do đó: \(A⋮19\)

7.5²ⁿ + 12.6ⁿ

= 7.5²ⁿ + ( 19 - 7 ). 6ⁿ

= 7.5²ⁿ + 19. 6ⁿ - 7.6ⁿ

= 7.5²ⁿ - 7.6ⁿ + 19. 6ⁿ

= 7(5²ⁿ - 6ⁿ ) + 19.6ⁿ

= 7(25ⁿ - 6ⁿ ) + 19.6ⁿ

Xét 7(25ⁿ - 6ⁿ ) \(⋮\) 19; 19.6^{n \(⋮\)}19

=> đpcm

nên ghi đề rõ hơn :D ^2n với ^(2n) dẽ làm lắm

toán chia hết? làm thế nào bây h? | Yahoo Hỏi & Đáp

Ta thấy :

Đào 1m : Trả 1 đồng

Đào 2m : Trả 1 x 2 = 2 đồng

Đào 3m : Trả 1 x 2 x 2 = 4 đồng

.......

Đào 10m : Trả 1 x 2 x 2 x ... x 2 = 512 đồng ﴾9 thừa số 2﴿

Vậy số tiền tên nhà giàu phải trả là :

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 ﴾đồng﴿

Đáp số : 1023 đồng 

Một tên nhà giàu keo kiệt thuê người đào giếng . Người thợ đòi tiền công 100 đồng , tên nhà giàu không bằng lòng vì chê đắt quá . Người thợ bèn nói : " Thế thì tính như sau : 1m đầu trả 1 đồng , 1m thứ hai trả 2 đồng , 1m thứ ba trả 4 đồng , 1m thứ tư trả 8 đồng ,..., cứ trả như thế cho đến khi xong việc " . Tên nhà giàu nghĩ là quá rẻ nên bằng lòng ngay . Hãy nghĩ xem tên nhà giàu phải trả bao nhiêu tiền công khi giếng đào sâu tới 10m ?

Ta thấy :

Đào 1 m : Trả 1 đồng

Đào 2 m : Trả 1 x 2 = 2 đồng

Đào 3 m : Trả 1 x 2  x 3 = 6 đồng

.....................................................

Đào 10 m : Trả 1 x 2 x 2 x ... x 2 = 512 đồng ( có 9 thừa số 2 )

Số tiền cần trả :

1  + 2  + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 đồng