\(f\left(x\right)=\left(m-4\right)x^2+\left(m+1\right)x+2m-1\)

\(f\left(x\right)< 0,\forall x\in R\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\\Delta< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-4< 0\\\left(m+1\right)^2-4\left(m-4\right)\left(2m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\m^2+2m+1-4\left(2m^2-m-8m+4\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-8m^2+36m-16< 0\)

\(\Leftrightarrow-7m^2+38m-15< 0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{3}{7}\\m>5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(KL:m\in\left(5;+\infty\right)\)

- Với \(m=-1\) thỏa mãn

- Với \(m\ne-1\) ta có \(\left(m+1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+4\ge0;\forall x\) khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-4\left(m+1\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left(m+1\right)\left(m-3\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\-1< m\le3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-1< m\le3\)

Kết hợp lại ta được \(-1\le m\le3\)

\(f\left(x\right)>0,\forall x\in R\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(m+1\right)\left(-m+4\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(-m^2+4m-m+4\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4+4m^2-12m-16< 0\)

\(\Leftrightarrow8m^2-20m-12< 0\)

\(KL:m\in\left(-1;3\right)\)

\(f'\left(x\right)=3\left(m-1\right)x^2+4\left(m-1\right)x+m\)

- Với \(m=1\Rightarrow f'\left(x\right)=1>0\) (không thỏa mãn)

- Với \(m\ne1\Rightarrow f'\left(x\right)< 0;\forall x\) khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4\left(m-1\right)^2-3m\left(m-1\right)< 0\\m-1< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1< m< 4\\m< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu

Ta có : \(\left(m-1\right)x^2-2\left(m-2\right)x+2-m>0\)

Có \(\Delta^,=b^{,2}-ac=\left(m-2\right)^2-\left(2-m\right)\left(m-1\right)\)

\(=m^2-4m+4+m^2-m-2=2m^2-5m+2\)

TH1 : m - 1 =0 => m = 1

- Thay m = 1 vào BPT ta được : 2x + 1 > 0

=> BPT có nghiệm ( L )

TH2 : \(m\ne1\)

- Để BPT trên vô nghiệm với mọi x thuộcR \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\le m\le2\\m< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le m< 1\)

Vậy ...

\(\int_{\Delta'=\left(m+1\right)^2-3\left(m-1\right)\left(m-2\right)<0}^{m-1>0}\)\(\int\limits^{m>1}_{-2m^2-7m+-5<0}\)=>\(\int_{m<-1;m>\frac{5}{2}}^{m>1}\)=> m > 5/2

1, BPT đúng với mọi x thuộc R khi vầ chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\1-4a^2\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\a\le\frac{-1}{2};a\ge\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a\ge\frac{1}{2}\)

2, điều kiện: \(\Delta< 0\\ \Leftrightarrow\left(m+2\right)^2+8\left(m-4\right)< 0\\ \Leftrightarrow m^2+12m-28< 0\\ \Leftrightarrow-14< m< 2\)

3, điều kiện: \(\Delta'< 0\\ \Leftrightarrow\left(2m-3\right)^2-\left(4m-3\right)< 0\\ \Leftrightarrow m^2-4m+3< 0\\ \Leftrightarrow1< m< 3\)

4, Nếu m=0 => f(x)=-2x-1<0 (loại)

Nếu m≠0 để f(x)<0 với ∀x ϵ R khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\1+m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m< -1\)