Vì  nên tồn tại α thỏa mãn 

(*) ⇔ cos α.cos 2x + sin α. sin 2x = 1

Vậy phương trình có họ nghiệm 

 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn 

Lời giải:
PT \(\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{41}}\sin 2x-\frac{5}{\sqrt{41}}\cos 2x=\frac{4}{\sqrt{41}}\)

\(\Leftrightarrow \cos a\sin 2x-\sin a\cos 2x=\frac{4}{\sqrt{41}}\) (với \(a=\arccos \frac{4}{\sqrt{41}}\), \(a\in (0;\frac{1}{2}\pi)\))

\(\Leftrightarrow \sin (2x-a)=\frac{4}{\sqrt{41}}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}(\arcsin \frac{4}{\sqrt{41}}+2k\pi +a)\) hoặc \(x=\frac{1}{2}(\pi -\arcsin \frac{4}{\sqrt{41}}+2k\pi +a)\)

Đáp án C

2 c os 2 2 x + 5 c os 2 x − 3 = 0 ⇔ c os 2 x = 1 2 ;  hoặc c os 2 x = − 3 l o a i , c os 2 x = 1 2 ⇔ x = ± π 6 + k π .  

Do x ∈ 0 ; 2 π . Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng 0 ; 2 π là:  S = π 6 + 7 π 6 + 5 π 6 + 11 π 6 = 4 π

đặt t=sinx+cosx và phải có đk của t

Chọn C

Vậy các nghiệm thuộc khoảng (0, 2π) là  π 4 , π , 5 π 4

b) \(2sin^2x-3sinxcosx+cos^2x=0\)

\(\Leftrightarrow2tan^2x-3tanx+1=0\left(cosx\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}tanx=1\\tanx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}tanx=tan\dfrac{\pi}{4}\\tanx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=arctan\left(\dfrac{1}{2}\right)+k\pi\end{matrix}\right.\left(k\in Z\right)\)

Đáp án B.

\(\Leftrightarrow1+2sinx.cosx-\left(sinx+cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow sin^2x+cos^2x+2sinx.cosx-\left(sinx+cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)^2-\left(sinx+cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(sinx+cosx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\\sinx+cosx=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0\\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\frac{\pi}{4}=k\pi\\x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+k2\pi\\x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=k2\pi\\x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)