a^2+b^2+c^2 = ab + bc + ca
Chứng minh a=b=c
Những câu hỏi liên quan
a. Cho a^2 + b^2 + c^2 + 3= 2(a + b + c). Chứng minh rằng: a=b=c=1
b. Cho (a + b + c)^2 = 3(ab + ac + bc). Chứng minh rằng: a=b=c
c. Cho a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac +bc. Chứng minh rằng: a=b=c
a)a2+b2+c2+3=2(a+b+c)
=>a2+b2+c2+1+1+1-2a-2b-2c=0
=>(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)=0
=>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
=>a-1=b-1=c-1=0 <=>a=b=c=1
-->Đpcm
b)(a+b+c)2=3(ab+ac+bc)
=>a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0
=>a2+b2+c2-ab-ac-bc=0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
=>(a2- 2ab+b2)+(b2-2bc+c2) + (c2-2ca+a2) = 0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
c)a2+b2+c2=ab+bc+ca
=>2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)
=>2a2+2b2+c2=2ab+2bc+2ca
=>2a2+2b2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)=0
=>(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
a) Ta có : \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
Vì \(\left(a-1\right)^2\ge0,\left(b-1\right)^2\ge0,\left(c-1\right)^2\ge0\) nên pt trên tương đương với \(\begin{cases}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\\\left(c-1\right)^2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
b) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\) (1)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0,\left(b-c\right)^2\ge0,\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\) \(\Rightarrow a=b=c\)
c) Giải tương tự câu b) , bắt đầu từ (1)
Đúng 0
Bình luận (0)
chứng minh đẳng thức:
(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).(a+b+c)=a(a^2-bc)+b(b^2-ca)+c(c^2-ab)
Chứng minh:
a) (a+b+c)^2+(a+b-c)^2+(a-b+c)^2+(b+c-a)^2=4(a^2+b^2+c^2)
b) (ab+bc+ca)^2+(a^2-bc)+(b^2-ca)+(c^2-ab)=(a^2+b^2+c^2)^2
Gợi ý cách làm là nhóm 2 đầu 2 cuối r khai triển HĐT để nhìn cho dễ hơn thôi còn ko thì cứ khai triển hết ra là dc
chứng minh : a^2+b^2+c^2-ab-b-ca)(a+b+c)= a(a^2-bc)+b(b^2-ca)+c(c^2-ab)
Ta có a(a2 - bc) + b(b2 - ca) + c(c2 - ab)
= a3 + b3 + c3 - 3abc
= (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 - 3abc
= [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 + 2ab - ac - bc - 3ab)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) (đpcm)
cho a,b,c>0, chứng minh:
1)ab+bc+ca >= a√ab+b√ca+c√ab
2)a^2+b^2+c^2 >= a√ab+b√ca+c√ab
1, Áp dụng BĐT cosi cho a,b,c>0
\(ab+bc\ge2\sqrt{ab^2c}=2b\sqrt{ac}\\ bc+ca\ge2\sqrt{abc^2}=2c\sqrt{ab}\\ ca+ab\ge2\sqrt{a^2bc}=2a\sqrt{bc}\)
Cộng VTV 3 BĐT trên:
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)\ge2\left(b\sqrt{ac}+a\sqrt{bc}+c\sqrt{ab}\right)\\ \Leftrightarrow ab+bc+ca\ge a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\)
Đúng 2
Bình luận (0)
\(2,\)
Ta có
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Áp dụng BĐT cm ở câu 1
Suy ra đpcm
Đúng 2
Bình luận (0)
cho a,b,c >0 thoa man a+b+c=3.chung minh (a^2+bc)/(b+ca) + (b^2+ca)/(c+ab) + (c^2+ab)/(a+bc) ≥ 3
Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
a) ab+ac+bc ≤ a^2+b^2+c^2 < 2(ab+ac+bc)
b) ab+ac+bc > (a^2+b^2+c^2)/2
Ta có (a-b)²≥0 nên a²+b²≥2ab, tương tự b²+c²≥2bc, c²+a²≥2ca, cộng vế với vế rồi chia 2 2 vế ta có a²+b²+c²≥ab+bc+ca
a, b, c là 3 cạnh tam giác nên a+b>c → c(a+b)>c², tương tự b(a+c)>b², a(b+c)>a², cộng vế với vế ta có 2(ab+bc+ca)>a²+b²+c²
Đúng 0
Bình luận (0)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm a^2 + b^2 + c^2 là ra nha bạn
Đúng 0
Bình luận (0)
o0o Nguyễn Việt Hiếu o0o =)) người ta đã ko bt , m ko chỉ còn câu câu trả lời ...... cạn lời
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số dương \(a,b,c\) thoả mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^2+bc}{b+ca}+\dfrac{b^2+ca}{c+ab}+\dfrac{c^2+ab}{a+bc}\ge3\)
chứng minh rằng a=b=c nếu có 1 trong các điều kiện sau:
a,a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
b,(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)
c,(a+b+c)^2=3(ab+ac+bc)
a,Ta có: a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca
<=> 2.a^2 + 2.b^2 + 2.c^2 = 2.ab + 2.bc + 2.ca
<=> ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc +c^2 ) + ( c^2 - 2ac + a^2 ) =0
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c -a)^2 =0 (1)
Vì (a-b)^2≧0 ; (b-c)^2≧0 ; (c -a)^2 ≧ 0 với mọi a,b,c.
=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c -a)^2 ≧ 0 (2)
Từ (1) và (2) :
=>a - b = 0; b - c = 0 ; c - a = 0 => a=b=c
Vậy a=b=c.
b,Ta có:(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)
<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3a^2+3b^2+3c^2
<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3a^2-3b^2-3c^2=0
<=>-2a^2-2b^2-2c^2+2ab+2ac+2bc=0
<=>(-a^2+2ab-b^2)+(-b^2+2bc-c^2)+(-a^2+2ac-c^2)=0
<=>(-a+b)^2+(-b+c)^2+(-a+c)^2=0(1)
ta có:(-a+b)^2≧0, (-b+c)^2≧0, (-a+c)^2≧0(2)với mọi a,b,c.
từ (1)và (2)=>(-a+b)^2=0; (-b+c)^2=0; (-a+c)^2=0
<=>-a+b=0; -b+c=0; -a+c=0
<=>a=b=c
c, (a + b + c)^2=3(ab+ac+bc)
<=>a^2 +b^2+c^2+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0
<=>a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0
<=> 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0
<=> (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) = 0
<=> (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0
<=> a = b = c
Chúc bạn học tốt
Đúng 0
Bình luận (1)
cho 3 số thực dương a,b,c. chứng minh
\(ab+bc+ca\le\frac{a^3\left(b+c\right)}{a^2+bc}+\frac{b^3\left(c+a\right)}{b^2+ca}+\frac{c^3\left(a+b\right)}{c^2+ab}\le a^2+b^2+c^2\)\(ab+bc+ca\le\frac{a^3\left(b+c\right)}{a^2+bc}+\frac{b^3\left(c+a\right)}{b^2+ca}+\frac{c^3\left(a+b\right)}{c^2+ab}\le a^2+b^2+c^2\)