Camr own moij nfuwowif ajTìm giá trị nhỏ nhất của:
A=\(\sqrt{x-2\sqrt{x-3}}\)
B=2\(\sqrt{x^2+3x+5}\)
Tìm giá trị lớn nhất của :
A=\(\sqrt{7-2x^2}\)
B=1+\(\sqrt{6x-x^2-7}\)
C=7+\(\sqrt{-4x^2+4x}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = \(\sqrt{4x^2+4x+2}\)
b) B = \(\sqrt{2x^2-4x+5}\)
c) C = \(\dfrac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}\)
d) D = \(x-2\sqrt{x+2}\)
a,\(A=2\sqrt{x^2+x+\dfrac{1}{2}}=2\sqrt{x^2+x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=2\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{4\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+1}\ge1\) dấu"=" xảy ra<=>x=-1/2
\(B=\sqrt{2\left(x^2-2x+\dfrac{5}{2}\right)}=\sqrt{2\left[x^2-2x+1+\dfrac{3}{2}\right]}\)
\(=\sqrt{2\left(x-1\right)^2+3}\ge\sqrt{3}\) dấu"=" xảy ra<=>x=1
\(C=\dfrac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}\ge\dfrac{-2}{-\sqrt{2}}=\sqrt{2}\) dấu"=" xảy ra<=>x=1
\(D=x-2\sqrt{x+2}\ge-2\) dấu"=" xảy ra<=>x=-2
d)D=\(x-2\sqrt{x+2}=\left(x+2\right)-2\sqrt{x+2}+1-3\)
\(=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2-3\ge-3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}=1\Leftrightarrow x+2=1\Leftrightarrow x=-1\)
tìm giá trị nhỏ nhất của
A=\(\sqrt{\left(x+2\right)^2}+\sqrt{\left(x+3\right)^2}=5\)
B=\(\sqrt[]{x+2\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}}\)
C=\(\sqrt{2x+\sqrt{4x-1}}+\sqrt{2x+\sqrt{4x-1}}\)
1.
Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:
$A=|x+2|+|x+3|=|x+2|+|-x-3|\geq |x+2-x-3|=1$
Vậy GTNN của $A$ là $1$. Giá trị này đạt tại $(x+2)(-x-3)\geq 0$
$\Leftrightarrow (x+2)(x+3)\leq 0$
$\Leftrightarrow -3\leq x\leq -2$
2. ĐKXĐ: $x\geq 1$
\(B=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{(x-1)+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(x-1)-2\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=|\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|\)
\(=|\sqrt{x-1}+1|+|1-\sqrt{x-1}|\geq |\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}|=2\)
Vậy gtnn của $B$ là $2$. Giá trị này đạt tại $(\sqrt{x-1}+1)(1-\sqrt{x-1})\geq 0$
$\Leftrightarrow 1-\sqrt{x-1}\geq 0$
$\Leftrightarrow 0\leq x\leq 2$
3.
$C\sqrt{2}=\sqrt{4x+2\sqrt{4x-1}}+\sqrt{4x+2\sqrt{4x-1}}$
$=2\sqrt{(4x-1)+2\sqrt{4x-1}+1}=2\sqrt{(\sqrt{4x-1}+1)^2}$
$=2|\sqrt{4x-1}+1|$
Vì $\sqrt{4x-1}\geq 0$ nên $|\sqrt{4x-1}+1|\geq 1$
$\Rightarrow C\sqrt{2}\geq 2$
$\Rightarrow C\geq \sqrt{2}$
Vậy $C_{\min}=\sqrt{2}$. Giá trị này đạt tại $x=\frac{1}{4}$
* Với giá trị nào của x thì các căn sau có nghĩa:
a.\(\sqrt{8x+2}\)
b.\(\sqrt{\dfrac{-5}{6-3x}}\)
* Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A=\(x-2\sqrt{x-2}+3\)
$a)ĐK:8x+2\ge 0$
$\to 8x \ge -2$
$\to x \ge -\dfrac14$
$b)ĐK:\dfrac{-5}{6-3x} \ge 0(x \ne 2)$
Mà $-5<0$
$\to 6-3x<0$
$\to 6<3x$
$\to x>2$
$*A=x-2\sqrt{x-2}+3(x \ge 2)$
$=x-2-2\sqrt{x-2}+1+4$
$=(\sqrt{x-2}-1)^2+4 \ge 4$
Dấu "=" xảy ra khi $\sqrt{x-2}-1=0 \Leftrightarrow \sqrt{x-2}=1\Leftrightarrow x=3$
a) \(x\ge-\dfrac{1}{4}\)
b) x<2
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A = \(\sqrt{x^2-8x+20}-12\)
b) B = 2.\(\sqrt{x^2+3x+5}\)
c) C = \(\frac{3}{1+\sqrt{2x-x^2+8}}\)
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A = \(\sqrt{7-2x^2}\)
b) B = \(\sqrt{-4x^2-4x+6}+5\)
c) C = 7 + \(\sqrt{-4x^2+4x}\)
\(A=\sqrt{\left(x-4\right)^2+4}-12\ge\sqrt{4}-12=-10\)
\(\Rightarrow A_{min}=-10\) khi \(x=4\)
\(B=2\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}}\ge2\sqrt{\frac{11}{4}}=\sqrt{11}\)
\(B_{min}=\sqrt{11}\) khi \(x=-\frac{3}{2}\)
\(C=\frac{3}{1+\sqrt{9-\left(x-1\right)^2}}\ge\frac{3}{1+\sqrt{9}}=\frac{3}{4}\) (để chặt chẽ thì cần tìm ĐKXĐ cho căn thức trước, bạn tự tìm)
Bài 2:
\(A=\sqrt{7-2x^2}\le\sqrt{7}\)
\(A_{max}=\sqrt{7}\) khi \(x=0\)
\(B=\sqrt{7-\left(2x+1\right)^2}+5\le\sqrt{7}+5\) (cần ĐKXĐ)
\(B_{max}=\sqrt{7}+5\) khi \(x=-\frac{1}{2}\)
\(C=7+\sqrt{1-\left(2x-1\right)^2}\le7+\sqrt{1}=8\) (cần tìm ĐKXĐ)
\(C_{max}=8\) khi \(x=\frac{1}{2}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất:
\(A=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-2x+5}\)
\(B=\sqrt{x^2-8x+17}+\sqrt{x^2+16}\)
\(C=\sqrt{-x^2+4x+12}-\sqrt{-x^2+2x+3}\)
a) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=\(\sqrt{x^2-4x+7}\)
B=\(\sqrt{x-2\sqrt{ }x-3}\)
\(A=\sqrt{x^2-4x+7}=\sqrt{\left(x^2-4x+4\right)+3}\)\(=\sqrt{\left(x-2\right)^2+3}\)
Ta thấy A luôn dương
\(\Rightarrow A_{min}\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2\right)^2+3}\)Nhỏ nhất\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2\)nhỏ nhất
Hay \(\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2\)
\(\Rightarrow A_{min}=\sqrt{0+3}=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=2\)
\(B=\sqrt{x-2\sqrt{x}-3}=\sqrt{x+\sqrt{x}-3\sqrt{x}-3}\)
\(=\sqrt{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-3\left(\sqrt{x}+1\right)}\)\(=\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(B_{min}\Leftrightarrow B=0\Rightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}+1=0\\\sqrt{x}-3=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=-1\\\sqrt{x}=3\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x\in\varnothing\\x=9\end{cases}}}\)
Vậy \(B_{min}=0\Leftrightarrow x=9\)
Cho P = \(\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{3x+3}{9-x}\) và Q = \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\) với \(x\ge0;x\ne9\)
a) Rút gọn biểu thức P. Tính M = P : Q
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \(x.M+\dfrac{4x+7}{\sqrt{x}+3}\)
a: \(P=\dfrac{2x-6\sqrt{x}+x+3\sqrt{x}-3x-3}{x-9}=\dfrac{-3\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-9}\)
\(M=\dfrac{-3\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-9}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{-3}{\sqrt{x}+3}\)
b: \(A=\dfrac{-3x+4x+7}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{x+7}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{x-9+16}{\sqrt{x}+3}\)
=>\(A=\sqrt{x}-3+\dfrac{16}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}+3+\dfrac{16}{\sqrt{x}+3}-6>=2\sqrt{16}-6=2\)
Dấu = xảy ra khi x=1
1) Giải phương trình \(\sqrt{x-1}-\sqrt{x-x^2}+2=\sqrt[3]{x+7}\)
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+\sqrt{4x}\)
1. Xét điều kiện:
\(\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\x-x^2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1\ge0\left(1\right)\\x\left(1-x\right)\ge0\left(2\right)\end{cases}}\)
(1) <=> x \(\ge\)1 > 0 thay vào (2) ta có: 1 - x \(\ge\)0 <=> x \(\le\)1
Do đó chỉ có thể xảy ra trường hợp x = 1
=> ĐK : x = 1
Với x = 1 thử vào phương trình ta có: 0 - 0 + 2 = 2 ( thỏa mãn)
Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình.
bài 2: ĐK:\(0\le x\le1\)
+) Với điều kiện: A,B không âm
\(\left(A+B\right)^2\ge A^2+B^2\)(1)
<=> \(A^2+B^2+2AB\ge A^2+B^2\)
<=> \(2AB\ge0\)luôn đúng
Dấu "=" xảy ra <=> A = 0 hoặc B = 0
Áp dụng với \(\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{x}\right)^2\ge1-x+x=1\)
=> \(\sqrt{1-x}+\sqrt{x}\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 0 hoặc x = 1
+) Với điều kiện C, D không âm
\(\left(C+D\right)^2\ge C^2-D^2\)(2)
Thật vậy: (2)<=> \(2CD+D^2\ge-D^2\)
<=> \(D\left(C+D\right)\ge0\)luôn đúng
Dấu "=" xayra <=> D = 0 hoặc C + D = 0
Áp dụng" \(\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)^2\ge1+x-x=1\)
=> \(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 0
Vậy khi đó:
\(P=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+\sqrt{4x}\)
\(=\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{x}\right)+\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)\)
\(\ge1+1=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức,
A=\(\sqrt{4x^2+4x+2}\)
B=\(\sqrt{2x^2-4x+5+1}\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M=\(-5+\sqrt{1+9x^2+6x}\)
a) \(A=\sqrt{4x^2+4x+2}=\sqrt{4x^2+4x+1+1}=\sqrt{\left(2x+1\right)^2+1}\)
Vì \(\left(2x+1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^2+1\ge1\forall x\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{1}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow2x+1=0\)\(\Leftrightarrow2x=-1\)\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)
Vậy \(minA=1\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)
b) \(B=\sqrt{2x^2-4x+5+1}=\sqrt{2x^2-4x+2+3+1}=\sqrt{2\left(x^2-2x+1\right)+4}\)
\(=\sqrt{2\left(x-1\right)^2+4}\)
Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow2\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow2\left(x-1\right)^2+4\ge4\forall x\)
\(\Rightarrow B\ge\sqrt{4}=2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x-1=0\)\(\Leftrightarrow x=1\)
Vậy \(minB=2\Leftrightarrow x=1\)