Qua A kẻ đường thẳng vuông góc AF cắt đường thẳng CD tại P

Xét hai tam giác vuông ABE và ADP có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}=\widehat{D}=90^0\\AB=AD\\\widehat{BAE}=\widehat{DAP}\left(\text{ cùng phụ }\widehat{DAE}\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ADP\Rightarrow AP=AE\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông APF:

\(\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}\) (đpcm)

a)Tứ giác CMFN là hình chữ nhật  vì có 3 góc vuông

nhuquynhdatGuest

bài 2

a) AB//CD => AB//CE(1)
Xét tam giác ADE có AH là đg` cao
lại có E đối xứng với D qua H => H là trung điểm của DE => AH là trung tuyến
=> tam giác ADE cân tại A
=> ADE=AED(goác đáy tam giác cân)
mặt khác ABCD là hình thang cân => ADC=góc C
=> góc C= AED
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của AE và BC => AE//BC(2)
từ (1)và (2) => ABCE là hbh

b) xét tam giác AHE và tam giác FHD có góc AHE=góc DHF(đối đỉnh)
DH=HE(gt)
AE//DF(gt)=> AEH=FDH(SLT)
=>tam giác AHE=tam giác FHD(gcg) => AH=HF => H là TĐ của AF

c) Ta có AH=HF(câu b)DH=HE(gt) => ADFE là hbh
mà AH vg góc với ED=> AF vg góc với ED => ADEF là hình thoi
lại có tam giác ADE cân tại A (câu a)=> AD=AE => ADEF là hình vg

bài 2

a) AB//CD => AB//CE(1)
Xét tam giác ADE có AH là đg` cao
lại có E đối xứng với D qua H => H là trung điểm của DE => AH là trung tuyến
=> tam giác ADE cân tại A
=> ADE=AED(goác đáy tam giác cân)
mặt khác ABCD là hình thang cân => ADC=góc C
=> góc C= AED
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của AE và BC => AE//BC(2)
từ (1)và (2) => ABCE là hbh

b) xét tam giác AHE và tam giác FHD có góc AHE=góc DHF(đối đỉnh)
DH=HE(gt)
AE//DF(gt)=> AEH=FDH(SLT)
=>tam giác AHE=tam giác FHD(gcg) => AH=HF => H là TĐ của AF

c) Ta có AH=HF(câu b)DH=HE(gt) => ADFE là hbh
mà AH vg góc với ED=> AF vg góc với ED => ADEF là hình thoi
lại có tam giác ADE cân tại A (câu a)=> AD=AE => ADEF là hình vg

cho hình tam giác ABCD ư viết lại đề bài đi bạn

câu 2

tam giác ABM bằng tam giác DBN (c.g.c) nên BM=BN và ABM=DBN ta có ABM+MBD=60 nên DBN+MBD=60 hay MBN =60 tam giác MBN đều

(((Làm theo hướng đó đúng rồi.. Tiếp nà )))

HFCE là hình bình hành (tự c/m)

=> \(\hept{\begin{cases}HF\text{//}EC\\HF=EC\left(1\right)\end{cases}}\)

Mà EC//AK => HF//AK

 => Δ ANK =  Δ FNH (g.c.g)

=> AK=HF (2)

Từ (1) và (2) suy ra AK=EC. Mà AK//EC

=> Tứ giác AKCE là hình bình hành có O là trung điểm của AC

=> O cũng là trung điểm của EK

=> Đpcm...

Ta thấy : 4 điểm A ; F ; C ; E cùng thuộc đường tròn đường kính AC .

Vì trung trực của EF cắt AC tại O nên O là trung điểm AC .

Ta có : OM , AH cùng vuông góc với EF nên OM // AH 

=> M là trung điểm CH ( Vì O là trung điểm của AC )

Do đó , tứ giác CFHE có tâm đối xứng M hay CFHE là hình bình hành .

Suy ra : HF // CE // AK 

Dễ chứng minh △HNF = △KNA ( g.c.g )

Suy ra : Tứ giác AHFK là hình bình hành .

Vậy : AK = HF = CE , kết hợp với AK // CE , AK vuông góc với AE .

Suy ra : CKAE là hình chữ nhật .

Vì O là trung điểm đường chéo AC nên O là tâm của hình chữ nhật CKAE hay K , O , E thẳng hàng ( đpcm )

Thử nhé: Gọi O' là trung điểm của AC.

Tam giác vuông AEC và AFC có trung tuyến lần lượt là EO' và FO' nên O'E=O'F (=1/2AC).

Suy ra: O'EF là tam giác cân. Mà O'M là đường trung tuyến của tam giác O'EF.

nên O'M là đường trung trực của EF. 

Vậy O và O' đều là giao điểm của đường trung trực của EF với AC nên O trùng O'. Suy ra O là trung điểm của AC.

Xét tam giác ACH có OA=OC và OM song song AH nên CM=HM. 

Xét tứ giác CEHF có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hbh. Đến đay làm sao?

Dù sao cũng cảm ơn nhiều !~

Dễ thấy bốn điểm A,F,C,E cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Vì trung trực của EF cắt AC tại O nên O là trung điểm AC

Ta có OM và AH cùng vuông góc với EF nên OM // AH suy ra M là trung điểm CH (Vì O là trung điểm AC)

Do đó tứ giác CFHE có tâm đối xứng M hay CFHE là hình bình hành

Suy ra HF // CE // AK. Dễ chứng minh \(\Delta\)HNF = \(\Delta\)KNA (g.c.g), suy ra tứ giác AHFK là hình bình hành

Vậy AK = HF = CE, kết hợp với AK // CE, AK vuông góc AE suy ra CKAE là hình chữ nhật

Vì O là trung điểm đường chéo AC nên O là tâm của hình chữ nhật CKAE hay K,O,E thẳng hàng (đpcm).