làm nhanh giùm mình nha ! đang cần gấp <:)

ĐẶt  \(A=x^2+y^2+z^2\Rightarrow4A-12=4\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow3A-12=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2-3\)
\(\Rightarrow3A\ge9\Rightarrow A\ge3\)
dấu= xảy ra khi x=y=z=1

Sử dụng các bđt cơ bản

\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\ge xy+yz+zx\)

Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

mong các bn đừng làm như vậy nah

`@ x+y+z=1`.

`<=>` \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-y-z\\y=1-z-x\\z=1-x-y\end{matrix}\right.\)

`P=(x+y)^2/(xy+1-x-y).(y+z)^2/(yz-y-z+1).(x+z)^2/(xy-x-y+1)`.

`<=> ((1-z)^2(1-y)^2(1-x)^2)/((1-x)(1-y)(1-y)(1-z)(1-z)(1-x).`

`=1.`

Vậy `P` không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Sửa lại đề là x;y;z khác -1.

\(A=\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2y+1}{yz+y+z+1}+\frac{zx+2z+1}{zx+z+x+1}=\)

\(A=\frac{x\left(y+1\right)+x+1}{x\left(y+1\right)+y+1}+\frac{y\left(z+1\right)+y+1}{y\left(z+1\right)+z+1}+\frac{z\left(x+1\right)+z+1}{z\left(x+1\right)+x+1}=\)

\(A=\frac{x\left(y+1\right)+x+1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{y\left(z+1\right)+y+1}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{z\left(x+1\right)+z+1}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}=\)vì x;y;z khác -1 nên:

\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{z}{z+1}+\frac{1}{x+1}=\)

\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{z}{z+1}+\frac{1}{z+1}=\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}=1+1+1=3\)

A = 3 với mọi x;y;z khác -1 nên A không phụ thuộc vào x;y;z. đpcm

`@ x+y+z=1`.

`<=>` \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-y-z\\y=1-z-x\\z=1-x-y\end{matrix}\right.\)

`P=(x+y)^2/(xy+1-x-y).(y+z)^2/(yz-y-z+1).(x+z)^2/(xy-x-y+1)`.

`<=> ((1-z)^2(1-y)^2(1-x)^2)/((1-x)(1-y)(1-y)(1-z)(1-z)(1-x).`

`=1.`

Vậy `P` không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Xét \(\hept{\begin{cases}4x^2+z^2\ge4xz\\4y^2+z^2\ge4yz\\2x^2+2y^2\ge4xy\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow2\left(3x^2+3y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2+z^2\ge10\)

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)và \(z=2\)

dốt ghê dễ thế mà cũng hỏi....................................   :]

\(=\dfrac{x}{xy}-\dfrac{y}{xy}+\dfrac{y}{yz}-\dfrac{z}{yz}+\dfrac{z}{zx}-\dfrac{x}{zx}\)

\(=\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{z}\)

= 0

=> KO PHỤ THUỘC

* Chứng minh biểu thức sau phụ thuộc vào x , y , z

\(\dfrac{x-y}{xy}+\dfrac{y-z}{yz}+\dfrac{z-x}{zx}\)

= \(\dfrac{(x-y)z+(y-z)x+(z-x)y}{xyz} \)

= \(\dfrac{xz-yz+xy-xz+zy-xy}{xyz}\)

= \(\dfrac{0}{xyz}\)

= 0

Vậy \(\dfrac{x-y}{xy} + \dfrac{y-z}{yz} + \dfrac{z-x}{zx} \) phụ thuộc vào x , y ,z

a) x - y + z = 0

<=> (x - y + z)² = 0

<=> (x - y + z).x - (x - y + z).y + (x - y + z).z = 0

<=> x² - xy + xz - xy + y² - zy + xz - zy + z² = 0

=> x² + y² + z² - 2xy + 2xz - 2zy = 0

=> x² + y² + z² = 2xy - 2xz + 2zy = 2.(xy - xz + yz)

Vì \(x^2+y^2+z^2\ge0\) nên \(2.\left(xy-xz+yz\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy-xz+yz\ge0\left(đpcm\right)\)

b) ĐK: x ϵ N

\(8.2^n+2^{n+1}=8.2^n+2^n.2=2^n.\left(8+2\right)=2^n.10⋮10\)

a mik ko biết

b. 8.2^n +2^(n+1)

A= 8. 2^n + 2^n +2

=2^n(8+2)

=2^n.10

vậy A chia hết cho 10 (đpcm)

tik mik vs

\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\\ \Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\\ \Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2zx+z^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\left(luôn.đúng\right)\)

Dấu "=' xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y-z=0\\x-z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=z\\x=z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)