Tìm \(GTNN\)của \(A=\left|11^m-5^n\right|\)
a) Tìm GTNN của \(A=\left(\left|x-5\right|+2\right)^2+\left|y+4\right|-2017\)
b) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn : 2.22 + 3.23 + 4.24 + ... + n.2n = 2n+11
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=11. Tìm GTNN của P=\(\frac{5a+5b+2c}{\sqrt{12\left(a^2+11\right)}+\sqrt{12\left(b^2+11\right)}+\sqrt{c^2+11}}\)
\(P=\frac{5a+5b+2c}{\sqrt{12\left(a^2+ab+bc+ca\right)}+\sqrt{12\left(b^2+ab+bc+ca\right)}+\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\frac{5a+5b+2c}{\sqrt{12\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{12\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\frac{5a+5b+2c}{\sqrt{\left(6a+6b\right)\left(2a+2c\right)}+\sqrt{\left(6a+6b\right)\left(2b+2c\right)}+\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(5a+5b+2c\right)}{6a+6b+2a+2c+6a+6b+2b+2c+a+c+b+c}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(5a+5b+2c\right)}{3\left(5a+5b+2c\right)}=\frac{2}{3}\)
\(P_{min}=\frac{2}{3}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b=1\\c=5\end{matrix}\right.\)
1) Tìm GTNN của biểu thức: \(A=\left|y-5\right|+\left|y+2012\right|\)
2) Tìm GTLN của biểu thức: \(N=-5-\left|2x-3\right|\)
1)Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:
\(\left|y-5\right|+\left|y+2012\right|\ge\left|y-5+2012+y\right|=2007\)
Dấu "=" khi \(-2012\le x\le5\)
Vậy MinA=2007 khi \(-2012\le x\le5\)
2)Ta thấy:\(\left|2x-3\right|\ge0\)
\(\Rightarrow-\left|2x-3\right|\le0\)
\(\Rightarrow-5-\left|2x-3\right|\le-5\)
Dấu "=" khi \(x=\frac{3}{2}\)
Vậy MaxN=-5 khi \(x=\frac{3}{2}\)
Cho ab+bc+ca=11.Tìm GTNN của P=\(\frac{5a+5b+2c}{\sqrt{12\left(a^2+11\right)}+\sqrt{12\left(b^2+11\right)}+\sqrt{c^2+11}}\)
\(P=\frac{5a+5b+2c}{\sqrt{12\left(a^2+11\right)}+\sqrt{12\left(b^2+11\right)}+\sqrt{c^2+11}}\)
\(=\frac{5a+5b+2c}{2\sqrt{3\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+2\sqrt{3\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)(Gọi A là mẫu của phân thức) (*)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số không âm, ta có:
\(2\sqrt{3\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le3\left(a+b\right)+\left(a+c\right)=4a+3b+c\)(1)
Tương tự ta có: \(2\sqrt{3\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\le4b+3a+c\)(2)
\(\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le\frac{1}{2}\left(a+b+2c\right)\)(3)
Cộng từng vế của (1); (2); (3), ta có:
\(A\le\frac{15}{2}a+\frac{15}{2}b+3c\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(P\ge\frac{5c+5b+2c}{\frac{15}{2}a+\frac{15}{2}b+3c}=\frac{2}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1; c = 5
Dễ thấy \(a^2+11=a^2+ab+cb+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)do đó ta đc
\(\sqrt{12\left(a^2+11\right)}=2\sqrt{3\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le3\left(a+b\right)\left(a+c\right)=4a+3b+c\)
tương tự nha
\(\sqrt{12\left(b^2+11\right)}=2\sqrt{3\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\le3\left(a+b\right)\left(b+c\right)=3a+4b+c\)
\(\sqrt{c^2+11}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}\le\frac{c+a+b+c}{2}=\frac{a+b+2c}{2}\)
khi đó ta đc
\(\sqrt{12\left(a^2+11\right)}+\sqrt{12\left(b^2+11\right)}+\sqrt{c^2+11}\le\frac{15a}{2}+\frac{15b}{2}+3c\)
suy ra \(P\ge\frac{5a+5b+2c}{\frac{15a}{2}+\frac{15b}{2}+3c}=\frac{10a+10b+4c}{15a+15b+6c}=\frac{2}{3}\)
zậy GTNN của P=2/3
dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}2a+3b=3a+2b=c\\ab+bc+ac=11\end{cases}=>a=b=1,c=5}\)
cách của bạn kia cx đc nha , cậu có thể tham khảo cách mình
Thay 11 =ab+bc+ac sau đó ghép cặp ,sử dụng BDT cô si thử ik bạn
Cho \(A=\left(\sqrt{m+\frac{2mn}{1-n^2}}+\sqrt{m-\frac{2mn}{1+n^2}}\right)\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\left(m\ge0,n>1\right)\)
a,Rút gọn A
b,Tính A biết \(m=\sqrt{56+24\sqrt{5}}\)
c,Tìm GTNN của A
\(A=\left(\sqrt{m+\frac{2mn}{1-n^2}}+\sqrt{m-\frac{2mn}{1+n^2}}\right)\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\)
Biến đổi ta được : \(\left(\sqrt{a'b}-\sqrt{ab'}\right)^2+\left(\sqrt{a'c}-\sqrt{ac'}\right)^2+\left(\sqrt{b'c}-\sqrt{bc'}\right)^2=0\)
a)Tìm GTNN của \(\left(x+1\right)^2+2\left(x+1\right)^4\)
b)Tìm GTNN của \(\left(x-1\right)^4+\left(x+5\right)^4-123\)
a) GTNN = 0 khi x = -1
b) GTNN = 503 khi x =0
1. Chứng minh rằng với \(\forall N\ne0̸\) ta đều có :
a, \(\dfrac{1}{2\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot8}+\dfrac{1}{8\cdot11}+\dfrac{1}{\left(3n-1\right)\cdot\left(3n+1\right)}=\dfrac{n}{6n+4}\).
2. Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức \(A=\dfrac{\left|2-x\right|-3}{\left|2-x\right|+11}\).
*Tìm GTNN của biểu thức:
A=\(3+x^2+3.\left|y-5\right|\)
*Tìm GTLN của biểu thức:
M=\(1-\left(x+3\right)^2\) N=\(-5-\left|2x-3\right|\)
2/ \(M=1-\left(x+3\right)^2\)
\(\left(x+3\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow1-\left(x+3\right)^2\ge1\)
Vậy \(max_A=1\) khi x=-3
tíc mình nha
Tìm gtnn của biểu thức
\(A=\left|x+5\right|+\left|x+2\right|+\left|x-7\right|+\left|x-8\right|\)
Ta có tính chất :
\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)
\(\rightarrow A=\left|x+5\right|+\left|x+2\right|+\left|x-7\right|+\left|x-8\right|\ge\left|x+5+x+2+x-7+x-8\right|\)
\(\rightarrow A\ge\left|4x-8\right|\)
Vì \(\left|4x-8\right|\ge0\forall x\in R\) nên :
\(\rightarrow A\ge0\forall x\in R\)
Dấu "= " xảy ra khi :
\(\left|4x-8\right|=0\) \(\Leftrightarrow4x-8=0\)
\(\Leftrightarrow x=2\)
Vậy \(A_{min}=0\Leftrightarrow x=2\)