chứng minh rằng nếu a, b, c và a', b', c' là độ dài các cạnh của 2 tam giác đồng dạng thì: \(\sqrt{aa'}+\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'}=\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)}\)
bài 1:cho biểu thức A=\(\sqrt{\left[3x+1\right]\left[x-2\right]}\) và B=\(\sqrt{3x+1}.\sqrt{x-2}\)
a/ tìm x để Acó nghĩa,B có nghĩa
b/với giá trị nào của x thì A=B?Với giá trị nào của x thì chỉ có A có nghĩa còn B không có nghĩa
bài 2:chứng minh rằng nếu a',b',c' và a,b,c là số đo các cạnh tương ứng của hai tam giac đồng dạng thì \(\sqrt{aa'}+\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'}=\sqrt{\left[a+b+c\right]\left[a'+b'+c'\right]}\)
Cmr: Nếu a,b,c và a',b',c' là độ dài các cạnh của hai tam giác đồng dạng( các cạnh có độ dài a,b,c lần lượt tương ứng với các cạnh dộ dài a',b',c' ) thì \(\sqrt{aa'}+\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'}=\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)}\)
gt \(\Rightarrow\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=\frac{a+b+c}{a'+b'+c'}=k\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=ka'\\b=kb'\\c=kc'\\a+b+c=k\left(a'+b'+c'\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}aa'=ka'^2\\bb'=kb'^2\\cc'=kc'^2\\\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)=k\left(a'+b'+c'\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{aa'}+\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'}=\sqrt{k}\left(a'+b'+c'\right)\\\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)}=\sqrt{k}\left(a'+b'+c'\right)\end{matrix}\right.\) => đpcm
cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
\(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}< \sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)
Đặt \(P=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)
Ta có:
\(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự và cộng lại ta được BĐT bên trái
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Bên phải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(P^2\le3\left(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\right)=6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Mặt khác do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\a+c>b\\b+c>a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ac+bc>c^2\\ab+bc>b^2\\ab+ac>c^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)< 6\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow P^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)< 3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow P^2< 3\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow P< \sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)
Cho tam giác ABC có a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác, trong đó a lớn nhất. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông khi và chỉ khi \(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\right)\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}\right)=\left(a+b+c\right)\sqrt{2}\)
bạn ơi giúp mình với C/M: (ax^2 - bx^2)^4 + (2ab+bx^2)^4 + (2ab+a^2)^4 = 2(a^2+ab+b^2)
Chứng minh rằng nếu: \(\dfrac{A}{a}=\dfrac{B}{b}=\dfrac{C}{c}=\dfrac{D}{d}\)(a,b,c,d,A,B,C,D>0) thì\(\sqrt{Aa}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{Dd}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
cho các số dương a,b,c và a',b',c'. chứng minh rằng nếu:
\(\sqrt{aa'}+\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'}=\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)}\) thì \(\dfrac{a}{a'}+\dfrac{b}{b'}+\dfrac{c}{c'}\)
Sửa lại đề \(\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\) (cái này có trong CHTT rồi nhé nhưng giờ bỗng dưng rảnh làm lại luôn đỡ mất công tìm)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VP^2=\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)\)
\(\ge\left(\sqrt{a\cdot a'}+\sqrt{b\cdot b'}+\sqrt{c\cdot c'}\right)=VT^2\)
Tức là \(VP\ge VT\)
Xảy ra khi \(\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác và \(a\ge b\ge c\). Chứng minh rằng
\(\sqrt{a\left(a+b-\sqrt{ab}\right)}+\sqrt{b\left(a+c-\sqrt{ac}\right)}+\sqrt{c\left(c+b-\sqrt{bc}\right)}\ge a+b +c\)
cho a, b, c; a', b', c' là độ dài các cạnh 2 tam giác đồng dạng.
C/m: \(\sqrt{aa'}\) + \(\sqrt{bb'}\) + \(\sqrt{cc'}\) = \(\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)}\)
Giúp mình với!! :3
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)