Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\):

\(A=\left|x-3\right|+\left|x-1\right|+\left|x+1\right|+\left|x+3\right|\)

\(=\left|3-x\right|+\left|x+3\right|+\left|1-x\right|+\left|x+1\right|\)

\(\ge\left|3-x+x+3\right|+\left|1-x+x+1\right|=8\)

\(minA=8\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3-x\right)\left(x+3\right)\ge0\\\left(1-x\right)\left(x+1\right)\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-1\le x\le1\)

Đặt \(x+3=t\ne0\Rightarrow x=t-3\)

\(A=\dfrac{\left(t+2\right)\left(t-4\right)}{t^2}=\dfrac{t^2-2t-8}{t^2}=-\dfrac{8}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1=-8\left(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{8}\right)^2+\dfrac{9}{8}\le\dfrac{9}{8}\)

\(A_{max}=\dfrac{9}{8}\) khi \(t=-8\) hay \(x=-11\)

Ta có : 

\(A=\left(x-1\right)^4+\left(x-3\right)^4+6\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2\)

\(A=\left(x-1\right)^4+2\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2+\left(x-3\right)^4+4\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2\)

\(A=\left[\left(x-1\right)^2+\left(x-3\right)^2\right]^2+4\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2\)

\(A=\left[2x^2-8x+10\right]^2+4\left(x^2-4x+3\right)^2\)

\(A=\left[2\left(x-2\right)^2+2\right]+4\left[\left(x-2\right)^2-1\right]^2\)

\(A=4\left(x-2\right)^4+8\left(x-2\right)^2+4+4\left(x-2\right)^4-8\left(x-2\right)^2+4\)

\(A=8\left(x-2\right)^4+8\ge8\)

Vậy GTNN của biểu thức A là 8 \(\Leftrightarrow x=2\)

Đặt x-2=y

=> \(A=\left(y+1\right)^4+\left(y-1\right)^4+6\left(y+1\right)^2\left(y-1\right)^2\)

Khai triển A ta được 

\(A=2y^4+12y^2+2+6\left(y^4-2y^2+1\right)\)

\(=8y^4+8=8\left(y^4+1\right)\ge8\)

Dấu "=" xảy ra khi y=0 lúc đó x=0+2=2

Vậy A_min=8 khi x=2

Ta có tính chất : 

\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)

\(\rightarrow A=\left|x+5\right|+\left|x+2\right|+\left|x-7\right|+\left|x-8\right|\ge\left|x+5+x+2+x-7+x-8\right|\)

​​\(\rightarrow A\ge\left|4x-8\right|\)

Vì \(\left|4x-8\right|\ge0\forall x\in R\) nên :

\(\rightarrow A\ge0\forall x\in R\)

Dấu "= " xảy ra khi : 

\(\left|4x-8\right|=0\) \(\Leftrightarrow4x-8=0\) 

                     \(\Leftrightarrow x=2\)

Vậy \(A_{min}=0\Leftrightarrow x=2\)

a) \(A=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+2016\)

\(=\left|x-1\right|+\left|2-x\right|+2016\)

Áp dụng bđt \(\left|A\right|+\left|B\right|\ge\left|A+B\right|\) ta có:

\(\left|x-1\right|+\left|2-x\right|\ge\left|x-1+2-x\right|=1\)

=> \(\left|x-1\right|+\left|2-x\right|+2016\ge1+2016=2017\)

Vậy GTNN của A là 2017 khi \(\begin{cases}x-1\ge0\\2-x\ge0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge1\\x\le2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow1\le x\le2\)

b) \(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|\)

Có: \(\left|x-1\right|+\left|x-3\right|=\left|x-1\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x-1+3-x\right|=2\) (1)

Ta lại có: \(\left|x-2\right|\ge0\) (2)

Từ (1)(2) suy ra: \(B\ge2\)

Vậy GTNN của B là 1 khi \(\begin{cases}x-1\ge0\\3-x\ge0\\x=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge1\\x\le3\\x=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}1\le x\le3\\x=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x=2\)

a) Ta có:

\(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|=\left|x-1\right|+\left|2-x\right|\)

\(\Rightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|\ge\left|x-1+2-x\right|\)

\(\Rightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+2016\ge\left|x-1+2-x\right|+2016\)

hay \(A\ge\left|1\right|+2016=1+2016=2017\)

=> \(A\ge2017\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[\begin{matrix}x-1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy với \(x\in\left\{1;2\right\}\) thì A đạt GTNN và A=2017.

b) Ta có:

\(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|3-x\right|\)

hay \(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x-1+x-2+3-x\right|\)

\(\Rightarrow B\ge\left|x\right|\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[\begin{matrix}x-1=0\\x-2=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\x=2\\x=3\end{matrix}\right.\) (1)

Để B nhỏ nhất

=> |x| phải nhỏ nhất (2)

Từ (1) và (2)

=> x=1

khi đó:

B=|x|=|1|=1

Vậy với x=1 thì B đạt GTNN và B=1.

gtnn a là 2017 khi x=1 hoặc x=2

gtln b là 2 khi x=2