đặt \(A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)

\(=>A^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)

\(=>A^2\le\left[\left(\sqrt{a+b}\right)^2+\left(\sqrt{b+c}\right)^2+\left(\sqrt{c+a}\right)^2\right].3\)

\(=>A^2\le\left[2\left(a+b+c\right)\right]3=2.3=6\)

\(=>A\le\sqrt{6}\left(dpcm\right)\)

dấu"=" xảy ra<=>a=b=c=1/3

Ta có:\(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2=\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a}\right)^2\)

  \(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)=3.2=6\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{6}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1/3

a-b+b-x-a+c/x+y-z=0/x+y-z=0

suy ra a-b=0 suy ra a=b

b-c=0 suy ra b=c

cảm ơn bn nha

Câu 1: xy + x - y = 4

<=> (xy + x) - (y+ 1) = 3

<=> x(y+1) - (y + 1) = 3 <=> (y + 1) (x - 1) = 3

Theo bài ra cần tìm các số nguyên dương x, y =>

Xét các trường hợp y + 1 nguyên dương và x -1 nguyên dương.

Mà 3 = 1 x 3 => Chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

* TH1: y + 1 = 1; x - 1 = 3 => y = 0; x = 4 (loại vì y = 0)

* TH2: y + 1 = 3; x -1 = 1 => y = 2; x = 2 (t/m)

Vậy x = y = 2.

Câu 2: Ta có:  (a - b)/x = (b-c)/y = (c-a)/z

=(a-b + b -c + c - a) (x + y + z) = 0 Vì x; y

; z nguyên dương => a-b =0; b - c = 0; c- a =0 => a = b = c

Với a;b;c dương:

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{ab.bc.ca}\)

\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right).\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)\)

\(=\dfrac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

Đặt vế trái BĐT là P, ta có:

\(\dfrac{ab}{1-c^2}=\dfrac{ab}{\left(1-c\right)\left(1+c\right)}=\dfrac{ab}{\left(a+b\right)\left(a+c+b+c\right)}=\dfrac{ab}{\sqrt{a+b}.\sqrt{a+b}\left(a+c+b+c\right)}\)

\(\le\dfrac{ab}{\sqrt[]{2\sqrt[]{ab}}.\sqrt[]{a+b}.2\sqrt[]{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}=\dfrac{\sqrt[4]{\left(ab\right)^3}}{2\sqrt[]{2}.\sqrt[]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{bc}{1-a^2}\le\dfrac{\sqrt[4]{\left(bc\right)^3}}{2\sqrt[]{2}.\sqrt[]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

\(\dfrac{ca}{1-b^2}\le\dfrac{\sqrt[4]{\left(ca\right)^3}}{2\sqrt[]{2}.\sqrt[]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

Cộng vế:

\(P\le\dfrac{\sqrt[4]{\left(ab\right)^3}+\sqrt[4]{\left(bc\right)^3}+\sqrt[4]{\left(ca\right)^3}}{2\sqrt[]{2}.\sqrt[]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\sqrt[4]{\left(ab\right)^3}+\sqrt[4]{\left(bc\right)^3}+\sqrt[4]{\left(ca\right)^3}\le\dfrac{3}{2\sqrt[]{2}}\sqrt[]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[4]{\left(ab\right)^3}+\sqrt[4]{\left(bc\right)^3}+\sqrt[4]{\left(ca\right)^3}\right)^2\le\dfrac{9}{8}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Mà \(\dfrac{9}{8}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\left(\sqrt[4]{\left(ab\right)^3}+\sqrt[4]{\left(bc\right)^3}+\sqrt[4]{\left(ca\right)^3}\right)^2\le\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

Thật vậy:

\(\left(\sqrt[4]{ab}.\sqrt[]{ab}+\sqrt[4]{bc}.\sqrt[]{bc}+\sqrt[4]{ca}.\sqrt[]{ca}\right)^2\le\left(\sqrt[]{ab}+\sqrt[]{bc}+\sqrt[]{ca}\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\le\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).Vậy điều giả sử trên là sai, 
a,b,c là 3 số dương.

Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).

Vậy điều giả sử trên là sai, 
Do đó a,b,c là 3 số dương.