Gọi O là trung điểm của AH

Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên :

EO = OA = OH = AH/2 (tính chất tam giác vuông)

Vậy điểm E nằm trên đường tròn (O ; AH/2 )

Ta có : OH = OE

Suy ra tam giác OHE cân tại O

Trong tam giác BDH ta có:

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD

Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:

ED = DB = BC/2 (tính chất tam giác vuông)

Suy ra tam giác BDE cân tại D

Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

câu c thì cơ bản là tui chứng minh hai tam giác bằng nhau (c-c-c), xong rồi tui suy ra hai góc bằng nhau

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

nên AB=AC

=>ΔABC cân tại A

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

b: ΔOEF cân tại O

mà OG là trung tuyến

nên OG vuông góc với EF

Xét ΔAGO vuông tại G và ΔHDO vuông tại D có

góc AOG chung

Do đó: ΔAGO đồng dạng với ΔHDO

c: ΔAGO đồng dạng vơi ΔHDO

=>OA/OH=OG/OD

=>OA*OD=OH*OG

=>OH*OG=OE^2

=>ΔHEO vuông tại E

=>HE là tiếp tuyên của (O)

a)Sửa đề: BM=CN

Xét (O) có 

OB là bán kính(gt)

O là trung điểm của BC(gt)

Do đó: BC là đường kính của (O)

Xét (O) có

ΔBMC nội tiếp đường tròn(B,M,C∈(O))

BC là đường kính của (O)(cmt)

Do đó: ΔBMC vuông tại M(Định lí)

Xét (O) có 

ΔBNC nội tiếp đường tròn(B,N,C∈(O))

BC là đường kính của (O)(cmt)

Do đó: ΔBNC vuông tại N(Định lí)

Xét ΔBMC vuông tại M và ΔCNB vuông tại N có 

BC là cạnh chung

\(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔBMC=ΔCNB(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒BM=CN(hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔOBM và ΔOCN có 

OB=OC(=R)

OM=ON(=R)

BM=CN(cmt)

Do đó: ΔOBM=ΔOCN(c-c-c)

Lời giải:

a) Đề đúng phải là CMR $BM=CN$.

Xét tam giác $BMC$ và $CNB$ có:

$\widehat{BMC}=\widehat{CNB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\widehat{B}=\widehat{C}$ (do $ABC$ là tam giác cân tại $A$)

$\Rightarrow \triangle BMC\sim \triangle CNB$ (g.g)

$\Rightarrow BM=CN$ (đpcm)

b) 

Xét tam giác $OBM$ và $OCN$ có:

$OB=OC=R$

$OM=ON=R$

$BM=CN$ (theo phần a)

$\Rightarrow \triangle OBM=\triangle OCN$ (c.c.c)

c) 

$\widehat{NBA}=\widehat{NBM}=\frac{1}{2}\text{số đo cung MN}$

$\widehat{MON}=\text{số đo cung MN}$

$\Rightarrow \widehat{NBA}=\frac{1}{2}\widehat{MON}$

d) 

$\widehat{BMC}=\widehat{CNB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow BN\perp AC, CM\perp AB$

$ABC$ là tam giác cân tại $A$, $O$ là trung điểm $BC$ nên đường trung tuyến $AO$ đồng thời là đường cao. Suy ra $AO\perp BC$

Như vậy $AO, BN, CM$ là 3 đường cao của tam giác $ABC$ nên $AO, BN, CM$ đồng quy (đpcm)

Hình vẽ: