a) Xét ΔHAC và ΔKBC có:

       \(\widehat{AHC}=\widehat{BKC}=90\left(gt\right)\)

       \(\widehat{C}\) : góc chung

=>ΔHAC~ΔKBC(g.g)

b)Vì ΔHAC~ΔKBC(cmt)

=>\(\frac{HC}{AC}=\frac{KC}{BC}\) hay \(\frac{AC}{HC}=\frac{BC}{KC}\)

Xét ΔABC và ΔHKC có:

       \(\widehat{C}\) : góc chung

    \(\frac{AC}{HC}=\frac{BC}{KC}\) (cmt)

=>ΔABC~ΔHKC(c.g.c)

c)Vì ΔABC~ΔHKC(cmt)

=>\(\widehat{ABC}=\widehat{HKC}=50\)

b: \(BH=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

a: Đề sai rồi bạn

a.=> BC = BH + CH = 1 + 3 = 4 cm

áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông AHB

\(AB^2=HB^2+AH^2\)

\(AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}cm\)

áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông AHC

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

\(AC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}cm\)

a) \(H\)là giao hai đường cao \(BD,CE\)của tam giác \(ABC\)nên \(H\)là trực tâm của tam giác \(ABC\).

Suy ra \(AH\perp BC\)(1)

Tam giác \(ABC\)cân tại \(A\)nên trung tuyến \(AM\)cũng đồng thời là đường cao của tam giác \(ABC\).

Suy ra \(AM\perp BC\)(2)

Từ (1) (2) suy ra \(A,H,M\)thẳng hàng. 

Xét tam giác \(EBD\)có \(\widehat{BED}\)là góc tù nên \(ED< BD\).

Xét tam giác \(BDC\)vuông tại \(D\): 

\(BC>BD\)

suy ra \(BC>ED\).

a, Theo định lí Pytago tam giác ABH vuông tại H

\(AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{5}cm\)

Theo định lí Pytago tam giác AHC vuông tại H

\(AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)cm 

-> BC = HB + HC = 4 cm 

b, Ta có tam giacs ABC đều mà BH là đường cao hay BH đồng thời là đường trung tuyến 

=> AH = AC/2 = 5/2 

Theo định lí Pytago tam giác ABH vuông tại H

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}cm\)

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

góc A chung

=>ΔAHB đồng dạng với ΔAKC

=>AH/AK=AB/AC

=>AH/AB=AK/AC

Vì góc BKC=góc BHC=90 độ

nên BKHC nội tiếp

=>góc AKH=góc ACB

góc KEH=góc KFH=90 độ

nên KEFH nội tiếp

=>góc AEF=góc AHK=góc ABC

=>EF//CB

\(1,\)

\(a,\) Áp dụng HTL tam giác

\(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=CH\cdot BH\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AH^2}{CH}=\dfrac{25}{6}\left(cm\right)\\AB=\sqrt{\dfrac{25}{6}\left(\dfrac{25}{6}+6\right)}=\dfrac{5\sqrt{61}}{6}\left(cm\right)\\AC=\sqrt{6\left(\dfrac{25}{6}+6\right)}=\sqrt{61}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\\ BC=\dfrac{25}{6}+6=\dfrac{61}{6}\left(cm\right)\)

\(b,S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot\dfrac{61}{6}=\dfrac{305}{12}\left(cm^2\right)\)