a) Gọi M là trung điểm của BC, N là hình chiếu của M lên HK.
Tứ giác BCED có: ^BDE = ^CED (=900) => Tứ giác BCED là hình thang vuông.
Mà MN vuông góc DE => MN // BD // CE.
Trong hình thang BCED có: M là trung điểm BC; MN // BD // CE; N thuộc DE
=> N là trung điểm DE => ND = NE (1)
\(\Delta\)BKC vuông tại K có trung tuyến KM => KM = 1/2.BC. Tương tự: HM = 1/2.BC
=> KM = HM => \(\Delta\)KMH cân tại M. Lại có: MN là đường cao của \(\Delta\)KMH => NK = NH (2)
Trừ (1) cho (2) => ND - NK = NE - NH => DK = EH (đpcm).
b) Đề sai nha bạn, sửa lại là "SBHC + SBKC = SBCED ?"
Gọi P;Q;R theo thứ tự là hình chiếu của K;N;H xuống BC.
Qua N vẽ đường thẳng song song với BC. Nó cắt BD và CE tại I và J.
Dễ thấy \(\Delta\)NDI = \(\Delta\)NEJ (g.c.g) => SNDI = SNEJ .
Theo t/c diện tích miền đa giác: SBCED = SBCJND + SNEJ = SBCJND + SNDI = SBCJI (*)
Tứ giác KPRH có: KP // HR (Cùng vuông góc BC) => Tứ giác KPRH là hình thang
Mà NQ cũng vuông góc BC, N là trung điểm KH (cmt) => NQ là đường trung bình hình thang KPRH.
=> NQ = (KP + HR)/2 (3)
Ta có: SBKC = (KP.BC)/2; SBHC = (HR.BC)/2 => SBKC + SBHC = BC.(KP + HR)/2 (4)
Thế (3) vào (4) => SBKC + SBHC = BC.NQ
Lại có: IJ // BC; BI // CJ => Tứ giác BCJI là hình bình hành => SBCJI = BC.NQ (NQ là đg cao)
Do đó có: SBKC + SBHC = SBCJI (**)
Từ (*) và (**) => SBKC + SBHC = SBCED (đpcm).
