Gọi AH là đường cao của tam giác ABC (H thuộc BC)

Ta có : \(cotB=\frac{BH}{AH};cotC=\frac{CH}{AH}\) . Theo giả thiết : \(cotB=3cotC\Rightarrow BH=3CH\)

Mà BH + CH = BC\(\Rightarrow BC=4CH\Rightarrow CH=\frac{BC}{4}=\frac{2CM}{4}=\frac{CM}{2}\)

Vậy \(CH=\frac{1}{2}CM\); Ta cũng có : \(BH=BM+MH=2CH+MH=3CH\Rightarrow MH=CH\)

Do đó AH là đường trung trực của CM => AC = AM (đpcm)

AM sao có thể bằng AC đc? Đề có vấn đề j ko bn?

Gọi giao điểm của BD và AC là K.

Chứng minh được tam giác DAK = tam giác BCK (g.c.g)

Suy ra: KA = KC (2 cạnh tương ứng) mà K nằm giữa A và C nên K là trung điểm của AC

Xét tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AM,BK và CN nên AM,BK và CN đồng quy tại 1 điểm (tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác)

Vậy AM,BD,CN đồng quy

Bài này ko khó đâu.Chúc bạn học tốt.

Gọi Q là giao của AD và BC

Vì AD // BC => Góc QBC = Góc QDA ( so le trong ) ; Góc DAQ = Góc QCB ( so le trong)

Xét 2 tam giác ADQ và CBQ có 

Góc QBC = Góc QDA ; Góc DAQ = Góc QCB ; AD = BC(gt)

=> Tam giác ADQ = CBQ ( g.c.g )

=> AQ = QC ( cặp cạnh tương ứng )

Tam giác ABC có :

AM là trung tuyến của cạnh BC

CN là trung tuyến của cạnh AB (NA = NB)

BD là trung tuến của cạnh AC (QA = QC)

=> AM ; CN ; BD cùng đồng quy tại một điểm ( trọng tâm )

Kẻ đg cao AH, trung tuyến AD, trọng tâm G

Tg AHD vuông tại H nên \(AH\le AD\Rightarrow\dfrac{BC}{AH}\ge\dfrac{BC}{AD}\left(4\right)\)

Ta có \(\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}=\dfrac{BH}{AH}+\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{BC}{AH}\ge\dfrac{BC}{AD}\left(1\right)\)

Mà BM vuông góc CN nên GD là trung tuyến ứng vs ch BC

\(\Rightarrow BC=2GD\left(2\right)\)

Mà G là trọng tâm nên \(3GD=AD\left(3\right)\)

 \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\left(4\right)\Rightarrow\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}\ge\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{2GD}{3GD}=\dfrac{2}{3}\)