a: ta có: BH\(\perp\)AH tại H

nên BH là tiếp tuyến của (A;AH) có H là tiếp điểm

Ta có: CH\(\perp\)AH tại H

nên CH là tiếp tuyến của (A;AH) có H là tiếp điểm

Xét (A) có 

BH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm

BM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

Do đó: BH=BM

Xét (A) có 

CH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm

CN là tiếp tuyến có N là tiếp điểm

Do đó: CH=CN

Ta có: BH+CH=BC

nên BC=BM+CN

b, Vì C là giao 2 tiếp tuyến CH và CN của (A;AH) nên AC là phân giác góc NCH 

Vì B là giao 2 tiếp tuyến BH và BM của (A;AH) nên AB là phân giác góc HBM

Do đó \(\widehat{MBC}+\widehat{NCB}=2\left(\widehat{ACH}+\widehat{ABH}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

Mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía nên BM//CN

c, Vì BM,CN là tiếp tuyến (A;AH) nên \(BM\perp AM;CN\perp AN\)

Mà BM//CN nên AM trùng AN hay A;M;N thẳng hàng

Lời giải:
Áp dụng định lý Pitago:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$ (cm)

Xét tam giác $BAH$ và $BCA$ có:
$\widehat{B}$ chung

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0$

$\Rightarrow \triangle BAH\sim \triangle BCA$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BA}{BH}=\frac{BC}{BA}$

$\Rightarrow AB^2=BH.BC$ 

Theo tính chất về tia phân giác ta có:

$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}$

$\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{5}{18}$
$\Rightarrow AE=\frac{5}{18}.AC=\frac{5}{18}.12=\frac{10}{3}$ (cm)

$CE=AC-AE=12-\frac{10}{3}=\frac{26}{3}$ (cm)

Hình vẽ:

b: BH=19,2cm

AH=14,4cm

a.

Xét hai tam giác vuông ABC và HBA có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HBA}\text{ chung}\\\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta HBA\left(g.g\right)\)

b.

Do BD là phân giác góc B, áp dụng định lý phân giác cho tam giác ABC:

\(\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}\) (1)

Do BI là phân giác góc B, áp dụng định lý phân giác cho tam giác ABH:

\(\dfrac{HI}{AI}=\dfrac{BH}{AB}\) (2)

Mặt khác, từ câu a do \(\Delta ABC\sim\Delta HBA\Rightarrow\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}\) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\dfrac{HI}{IA}=\dfrac{AD}{DC}\)

a: Đề sai rồi bạn

b: BC=căn 8^2+6^2=10cm

S ABC=1/2*AB*AC=24cm²
Xét ΔBAH vuông tại H và ΔBCA vuông tại A có

góc B chung

=>ΔBAH đồng dạng với ΔBCA

=>BA/BC=BH/BA=6/10=3/5 và S BAH/S BCA=(3/5)^2=9/25

=>DH/DA=3/5

=>HD/HA=3/8

=>S BHD=3/8*S HBA=3/8*9/25*S BCA=27/200*S BCA

a: \(AB=\sqrt{CA^2+CB^2}=25\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại C có sin A=BC/BA=4/5

nên góc A\(\simeq\)53 độ

=>góc B=90-53=37 độ

ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên CH*AB=CA*CB

=>CH*25=15*20=300

=>CH=12(cm)

b: ΔHCA vuông tại H có HE là đường cao

nên CE*CA=CH^2

ΔCHB vuông tại H có FH là đường cao

nên CF*CB=CH^2

=>CE*CA=CF*CB