Lời giải:

Để $(d)$ đi qua $A(-1;-2)$ thì: $-2=-m+n(1)$

Để $(d)$ và $(P)$ tiếp xúc nhau thì PT hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{4}x^2-mx-n=0$ có nghiệm duy nhất

Điều này xảy ra khi:

$\Delta=m^2+n=0(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow m=1$ hoặc $m=-2$

Nếu $m=1$ thì $n=-1$

Nếu $m=-2$ thì $n=-4$

Vậy............

(D): y=(m+1)x+n

Vì (D)//(d1) nên m+1=1 và n<>-2

=>m=0

=>(D): y=x+n

Thay x=1 và y=-2 vào (D), ta được:

n+1=-2

=>n=-3

=>(D): y=x-3

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-\dfrac{1}{4}x^2-mx-n=0\)

THeo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+n=2\\\left(-m\right)^2-4\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)\cdot\left(-n\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2-n\\m^2-n=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2-n\\n^2-4n+4-n=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n\in\left\{1;4\right\}\\m\in\left\{1;-2\right\}\end{matrix}\right.\)

gọi giao điểm của 2 đường thẳng (d₁) và (d₂) là M(x₁,y₁)

Tọa độ giao điểm của đt (d₁) và (d₂) là nghiệm của hệ phương trình(hpt):

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-2y_1=1\\-3x_1+y_1=7\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}x_1=-3\\y_1=-2\end{matrix}\right.\) <=> M(-3;-2)

Vì đường thẳng mx-2y=n đi qua điểm A(2;1) và giao điểm của 2 đường thẳng trên nên ta có hpt:

\(\left\{{}\begin{matrix}2m-2=n\\-3m+4=n\end{matrix}\right.< =>^{ }\left\{{}\begin{matrix}m=\frac{6}{5}\\n=\frac{2}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy....

Để d đi qua A

\(\Leftrightarrow m.1+n=0\Rightarrow n=-m\Rightarrow y=mx-m\)

Phương trình hoành độ giao điểm (P) và d:

\(\frac{1}{2}x^2=mx-m\Leftrightarrow x^2-2mx+2m=0\) (1)

Để d tiếp xúc (P) \(\Leftrightarrow\) (1) có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-2m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\Rightarrow n=0\\m=2\Rightarrow n=-2\end{matrix}\right.\)

- Với \(m=n=0\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0\Rightarrow y=0\)

Tọa độ tiếp điểm là \(\left(0;0\right)\)

- Với \(\left[{}\begin{matrix}m=2\\n=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2-4x+4=0\Rightarrow x=2\Rightarrow y=2\)

Tọa độ tiếp điểm là \(\left(2;2\right)\)