Đáp án B

Ta có

  sin 4 x + c o s 4 x = m c o s 4 x + n ⇔ sin 2 x + c o s 2 x − 2 sin 2 x . c o s 2 x = m c o s 4 x + n ⇔ 1 − 1 2 sin 2 2 x = m c o s 4 x + n ⇔ 1 − 1 − c o s 4 x 4 = m c o s 4 x + n ⇒ m = 1 4 n = 3 4 ⇒ S = 1

1/ \(3-4\sin^2=4\cos^2x-1\Leftrightarrow4\left(\sin^2x+\cos^2x\right)-4=0\Leftrightarrow4.1-4=0\left(ld\right)\Rightarrow dpcm\)

2/ \(\cos^4x-\sin^4x=\left(\cos^2x+\sin^2x\right)\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=\cos^2x-\left(1-\cos^2x\right)=2\cos^2x-1=\left(1-\sin^2x\right)-\sin^2x=1-2\sin^2x\)

3/ \(\sin^4x+\cos^4x=\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2x.\cos^2x=1-2\sin^2x.\cos^2x\)

Ý bạn là $m\cot 2x$?

Lời giải:

$\frac{\cos 4x+\cos 2x+1}{\sin 4x+\sin 2x}=\frac{\cos ^22x-\sin ^22x+\cos 2x+1}{2\sin 2x\cos 2x+\sin 2x}$
$=\frac{2\cos ^22x-1+\cos 2x+1}{\sin 2x(2\cos 2x+1)}$

$=\frac{2\cos ^22x+\cos 2x}{\sin 2x(2\cos 2x+1)}$

$=\frac{\cos 2x(2\cos 2x+1)}{\sin 2x(2\cos 2x+1)}$

$=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\cot 2x$

$\Rightarrow m=1$

(1) trở thành 4t² – 2t -6 – m = 0  (2); △ ' = 25 + 4 m .

Để (1) vô nghiệm, ta sẽ tìm m sao cho (1) có nghiệm rồi sau đó phủ định lại.

(1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm thoả  t o ∈ - 1 ; 1

Nếu , (2) có nghiệm kép nên  thoả (1) có nghiệm.

Nếu , khi đó (2) phải có hai nghiệm phân biệt thoả 

Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

f(x) = 1 ⇒ f′(x) = 0

Ta có:

Vậy giá trị của biểu thức  không phụ thuộc vào x.

PT\(\Leftrightarrow1-2sin^2x.cos^2x+m.sinx.cosx=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{sin^22x}{2}+\dfrac{m}{2}\cdot sin2x=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow sin^22x-m.sin2x-1=0\left(\cdot\right)\)

Đặt \(t=sin2x\left(-1\le t\le1\right)\)

PT(*) trở thành: \(t^2-m.t-1=0\)

Để PT có nghiêm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow m^2-4.1.\left(-1\right)\ge0\Leftrightarrow m^2+4\ge0\)

Dễ thấy \(m^2+4\ge0\left(\forall m\right)\)

Do đó PT (*) luôn có nghiệm với mọi m