f(x)= ax^3+4x(x^2-1)+8 = ax^3 + 4x^3 - 4x + 8 = (a + 4)x^3 - 4x + 8
g(x)= x^3 - 4x(bx+1) +c-3 = x^3 - 4bx^2 - 4x + c - 3
Để f(x)=g(x) thì a + 4 = 1, -4b =0 và c - 3 = 8
=> a = -3, b = 0, c = 11

Ta có: f(x) =  ax³ + 4x(x²- x) - 4x + 8 

                 = ax³ + 4x³ - 4x² - 4x + 11 - 3

                 = x³ (a + 4) - 4x (x + 1) + 11 -3

f(x)=g(x) <=>x³ (a + 4) - 4x (x + 1) + 11 -3 = x³ - 4x ( bx +1) + c - 3

                <=>  \(\hept{\begin{cases}a+4=1\\x+1=bx+1\\c=11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-3\\b=1\\c=11\end{cases}}\)

Vậy a=-3, b=1 và c=11

Gọi thương của phép chia 4x³+ax+b và x-2 là A(x)

\(\Rightarrow4x^{3^{ }}+ax+b=\left(x-2\right).A\left(x\right)\)

Vì đẳng thức luôn đúng với mọi x nên ta thay x =2 vào ta được

\(\Rightarrow32+2a+b=0\)

⇒ 2a + b = -32

Gọi thương của phép chia 4x³+ax+b và x+1 là B(x)

\(\Rightarrow4x^{3^{ }}+ax+b=\left(x+1\right).B\left(x\right)\)

Vì đẳng thức luôn đúng với mọi x nên ta thay x =-1 vào ta được

\(\Rightarrow-4-a+b=0\)

\(\Rightarrow-a+b=4\)

Có \(\left[{}\begin{matrix}2a+b=-32\\-a+b=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-12\\b=-8\end{matrix}\right.\)

⇒ 2a - 3b

= 2.(-12) - 3 .(-8)

= 0

1) \(\left(x^2-4x+3\right)f\left(x+1\right)=\left(x-2\right)f\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)f\left(x+1\right)=\left(x-2\right)f\left(x-1\right)\)

Với \(x=1\): \(0=-1f\left(0\right)\Leftrightarrow f\left(0\right)=0\)do đó \(0\)là một nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\).

Tương tự xét \(x=2,x=3\)có thêm hai nghiệm nữa là \(3\)và \(2\).

2) \(f\left(2\right)=4a-2+b=0\Leftrightarrow4a+b=2\)

Tổng hệ số cao nhất và hệ số tự do là \(a+b\)suy ra \(a+b=-7\).

Ta có hệ: 

\(\hept{\begin{cases}4a+b=2\\a+b=-7\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a=9\\b=-7-a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3\\b=-10\end{cases}}\).

Bài 1

Gợi ý bạn làm : Bạn thay \(x=-4;x=-3;x=0;x=1\) vào \(f\left(x\right);g\left(x\right)\)

\(\Rightarrow\) Nếu kết quả ra giống nhau thì là nghiệm , ra khác nhau thì không là nghiệm

VD : Thay \(x=-4\) vào \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\)

\(f\left(-4\right)=4.\left(-4\right)^4-5\left(-4\right)^3+3.\left(-4\right)+2=1334\)

\(g\left(x\right)=-4.\left(-4\right)^4+5\left(-4\right)^3+7=-1337\)

Ra hai kết quả khác nhau 

\(\Rightarrow x=-4\) không là nghiệm

Bài 2

\(f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(-x^5+3x^2+4x+8\right)-\left(-x^5-3x^2+4x+2\right)\\ =-x^5+3x^2+4x+8+x^5+3x^2-4x-2\\ =\left(-x^5+x^5\right)+\left(3x^2+3x^2\right)+\left(4x-4x\right)+\left(8-2\right)\\ =6x^2+6\\ =x^2+1\\ =x^2+2.\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\\ =\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

\(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm 

\(a,\Leftrightarrow f\left(x\right)⋮g\left(x\right)=\left(x+2\right)^2\\ \Leftrightarrow f\left(-2\right)=-8+4a-4=0\\ \Leftrightarrow a=3\\ b,\Leftrightarrow f\left(x\right)⋮g\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\\ \Leftrightarrow f\left(1\right)=f\left(-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+a+b-1=0\\1-a-b-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=0\\a+b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a,b\in R\\ \text{Vậy }f\left(x\right)⋮g\left(x\right),\forall a,b\\ c,\Leftrightarrow f\left(1\right)=f\left(-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-3a+2+b=0\\-18-12a-4+b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-b=4\\12a-b=-22\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{26}{9}\\b=-\dfrac{38}{3}\end{matrix}\right.\)