Cho x,y là hai số dương thay đổi t/m: \(x+\frac{1}{y}\le1\).

Tìm Minh của biểu thức: \(M=\frac{4}{x}+y\)

Một bạn đã giải như sau:

 Lời giải:

Từ giả thiết,áp dụng BĐT AM-GM cho hai số dương,ta có:

\(1\ge x+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{y}}=2\sqrt{\frac{x}{y}}\) (1)

\(M=\frac{4}{x}+y\ge2\sqrt{\frac{4}{x}.y}=4\sqrt{\frac{y}{x}}\) (2)

Nhân về theo vế của hai bất đẳng thức cùng chiều (1) và (2) (vì cả hai vế đều dương) ta được \(M\ge8\).

Vậy Min M = 8

        Theo bạn,lời giải trên đã đúng chưa? Nếu sai hãy chỉ ra lỗi sai đó và chữa lại.

Giải bài toán sau bằng phương pháp chứng minh phản chứng: “Chứng minh rằng với mọi x, y, z bất kì thì các bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra  x < y − z ; y < z − x ; z < x − y ”

Một học sinh đã lập luận tuần tự như sau:

(I) Giả định các đẳng thức xảy ra đồng thời.

(II) Thế thì nâng lên bình phương hai vế các bất đẳng thức, chuyển vế phải sang vế trái, rồi phân tích, ta được:

(x – y + z)(x + y – z) < 0

(y – z + x)(y + z – x) < 0

(z – x + y)(z + x – y) < 0

(III) Sau đó, nhân vế theo vế ta thu được:(x – y + z ) 2 (x + y – z)(-x + y + z) < 0 (vô lí)

Lý luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoan nào?

A. (I)

B. (II)

C. (III)

D. Lý luận đúng

Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh "Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây:

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có:

    m2 + V2 = V2 + m2

Cộng cả hai vế với -2Mv, ta có:

    m2 – 2mV + V2 = V2 – 2mV + m2

hay     (m - V)2 = (V - m)2.

Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:

    √(m - V)2 = √(V - m)2

Do đó     m – V = V – m

Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh "Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây:

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có:

    m2 + V2 = V2 + m2

Cộng cả hai vế với -2Mv, ta có:

    m2 – 2mV + V2 = V2 – 2mV + m2

hay     (m - V)2 = (V - m)2.

Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:

    √(m - V)2 = √(V - m)2

Do đó     m – V = V – m

Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Rút gọn biểu thức x(x − y) − y(y − x) ta được ?

(A) x 2 + y 2

(B)  x 2 - y 2

(C) x 2 - x y

(D) x - y 2

Hãy chọn kết quả đúng.