Thay x=0 vào y=x+2013, ta được:

y=0+2013=2013

Thay y=0 vào y=x+2013, ta được:

x+2013=0

hay x=-2013

đường thẳng d cắt trục ox  \(\Rightarrow\) y =  0

thay y bằng 0 vào ta có 

\(0=x+2013\)

\(\Leftrightarrow-x=2013\)

\(\Leftrightarrow x=-2013\)

vậy đường thẳng d cắt ox tại điểm có  tọa độ ( -2013; 0)

đường thẳng d cắt trục oy  \(\Rightarrow\) x =  0

\(y=0+2013\)

\(\Leftrightarrow y=2013\)

vậy đường thẳng d cắt oy tại điểm có  tọa độ ( 0 ; 2013)

a) y = 2x - 3

Cho x = 0 \(\Rightarrow\) y = -3 \(\Rightarrow\) A(0; -3)

Cho y = 0 \(\Rightarrow\) \(x=\dfrac{3}{2}\) \(\Rightarrow\) B\(\left(\dfrac{3}{2};0\right)\)

b) ĐKXĐ của (d'): \(m^2-2\ne0\)

\(\Leftrightarrow m\ne\sqrt{2}\) và \(m\ne-\sqrt{2}\)

Để (d) // (d') thì

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-2=2\\m-1\ne-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2=4\\m\ne-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-2\end{matrix}\right.\\m\ne-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m=2\) (nhận)

Vậy m = 2 thì (d) // (d')

Cách 1:

Do M thuộc d, gọi tọa độ M có dạng \(M\left(2m-2;m\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(2m-2;m-6\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(2m-4;m-5\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(T=MA+MB=\sqrt{\left(2m-2\right)^2+\left(m-6\right)^2}+\sqrt{\left(2m-4\right)^2+\left(m-5\right)^2}\)

\(T=\sqrt{5m^2-20m+40}+\sqrt{5m^2-26m+41}\)

\(T=\sqrt{5\left(m-2\right)^2+\left(2\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{5\left(\dfrac{13}{5}-m\right)^2+\left(\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)^2}\)

\(T\ge\sqrt{5\left(m-2+\dfrac{13}{5}-m\right)^2+\left(2\sqrt{5}+\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)^2}=\sqrt{53}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(6\left(m-2\right)=10\left(\dfrac{13}{5}-m\right)\Leftrightarrow m=\dfrac{19}{8}\)

\(\Rightarrow M\left(\dfrac{11}{4};\dfrac{19}{8}\right)\)

Cách 2:

Thay tọa độ A và B vào pt (d) được 2 giá trị cùng dấu âm \(\Rightarrow A;B\) nằm cùng phía so với (d)

Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc với d \(\Rightarrow\) pt d' có dạng:

\(2\left(x-0\right)+1\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow2x+y-6=0\)

Gọi C là giao điểm của d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2y+2=0\\2x+y-6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(2;2\right)\)

Gọi D là điểm đối xứng với A qua d \(\Leftrightarrow C\) là trung điểm AD \(\Rightarrow D\left(4;-2\right)\)

Phương trình BD có dạng: \(7\left(x-2\right)+2\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow7x+2y-24=0\)

\(MA+MB\) nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của BD

\(\Rightarrow\) Tọa độ M thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}7x+2y-24=0\\x-2y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{11}{4};\dfrac{19}{8}\right)\)

Cho \(x=0\Rightarrow y=3\Rightarrow A\left(0;3\right)\)

Cho \(y=0\Rightarrow x=-\dfrac{3}{2}\Rightarrow B\left(-\dfrac{3}{2};0\right)\)

Lập bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

d: 4x-3y+5=0

=>VTPT là (4;-3) và (d) đi qua A(1;3)

=>VTCP là (3;4)

PTTS là:

x=1+3t và y=3+4t

=>N(3t+1;4t+3)

NM=1

=>\(\sqrt{\left(3t+1+1\right)^2+\left(4t+3-2\right)^2}=1\)

=>9t^2+12t+4+16t^2+8t+1=1

=>25t^2+20t+4=0

=>(5t+2)^2=0

=>t=-2/5

=>N(-1/5;-3/5)