a.

Hai đường thẳng song song khi:

\(\dfrac{m+3}{2}=\dfrac{3}{2}\ne\dfrac{-2m+3}{2-3m}\)

\(\Leftrightarrow m=0\)

b.

Hai đường thẳng trùng nhau khi: \(\dfrac{m+3}{2}=\dfrac{3}{2}=\dfrac{-2m+3}{2-3m}\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn

Vậy 2 đường thẳng cắt nhau khi \(m\ne0\)

a: Thay x=1 vào y=4x+m, ta được:

y=4*1+m=m+4

Thay x=1 và y=m+4 vào y=2mx+5, ta được:

2m+5=m+4

=>m=-1

b: Thay x=3 và y=0 vào (d), ta được:

3(3m-2)+4=0

=>9m-6+4=0

=>9m-2=0

=>m=2/9

a) Hàm số đồng biến `<=>m+1>0<=>m>-1`

b) `d_1` đi qua `A(1;2) <=> 2=(m+1).1+m-1<=>m=1`

c) `d_1 //// y=-1/3 x+1 <=>` \(\left\{{}\begin{matrix}m+1=-\dfrac{1}{3}\\m-1\ne1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-\dfrac{4}{3}\\m\ne2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-\dfrac{4}{3}\)

a: Để (d)//(d1) thì \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-2=2\\m-1\ne-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2=4\\m\ne-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\m\ne-2\end{matrix}\right.\)

=>m=2

b: Để (d) trùng với (d2) thì

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-2=-1\\m-1=-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2=1\\m=-1\end{matrix}\right.\)

=>m=-1

c:

Để (d) cắt (d3) thì \(m^2-2\ne3\)

=>\(m^2\ne5\)

=>\(m\ne\pm\sqrt{5}\)

Thay x=-1 vào y=3x-2, ta được:

\(y=3\left(-1\right)-2=-5\)

Thay x=-1 và y=-5 vào (d), ta được:

\(-\left(m^2-2\right)+m-1=-5\)

=>\(-m^2+2+m-1+5=0\)

=>\(-m^2+m+6=0\)

=>\(m^2-m-6=0\)

=>(m-3)(m+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m-3=0\\m+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\left(nhận\right)\\m=-2\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

d: Để (d) vuông góc với (d4) thì \(\dfrac{4}{5}\left(m^2-2\right)=-1\)

=>\(m^2-2=-1:\dfrac{4}{5}=-\dfrac{5}{4}\)

=>\(m^2=\dfrac{3}{4}\)

=>\(m=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

a: Để (d)//(d') thì \(\left\{{}\begin{matrix}k-2=2\\-k\ne4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}k=4\\k\ne-4\end{matrix}\right.\)

=>k=4

b: Để (d) vuông góc (d') thì \(2\left(k-2\right)=-1\)

=>2k-4=-1

=>2k=3

=>\(k=\dfrac{3}{2}\)

c: Để (d) cắt (d') thì \(k-2\ne2\)

=>\(k\ne4\)

a) \(y=\left(m+2\sqrt{m}+1\right)x-10\) là hàm số đồng biến khi: \(\left(m\ge0\right)\)

\(m+2\sqrt{m}+1>0\) 

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{m}+1\right)^2>0\) (luôn đúng) 

Nên hàm số này luôn là hàm số đồng biến với \(m\ge3\)

b) \(y=\left(\sqrt{m}-3\right)x+2\) là hàm số nghịch biến khi: \(\left(m\ge0\right)\) 

\(\sqrt{m}-3< 0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{m}< 3\)

\(\Leftrightarrow m< 9\) 

\(\Leftrightarrow0\le m< 9\) 

a: Để hàm số (1) là hàm số bậc nhất thì \(m^2+m-2< >0\)

=>\(m^2+2m-m-2< >0\)

=>\(\left(m+2\right)\left(m-1\right)< >0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m+2< >0\\m-1< >0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\notin\left\{-2;1\right\}\)

Để hàm số nghịch biến thì (m+2)(m-1)<0

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+2>0\\m-1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>-2\\m< 1\end{matrix}\right.\)

=>-2<m<1

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+2< 0\\m-1>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m< -2\end{matrix}\right.\)

=>Loại

b: Để hàm số (1) là hàm hằng thì \(m^2+m-2=0\)

=>(m+2)(m-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+2=0\\m-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Nếu $(1)$ song song với $Ox$ thì $2m-3=0$

Khi đó, ptđt $(1)$ là: $y=-1$. Khoảng cách từ $O$ đến $(1)$ là: $|-1|=1$

Nếu $(1)$ song song với $Oy$ không xét, vì hệ số của $y$ khác $0$ nên $(1)$ luôn cắt $Oy$

Nếu $(1)$ cắt được cả Ox, Oy thì trước tiên $2m-3\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{3}{2}$

Gọi $A, B$ là giao của $(1)$ với lần lượt trục $Ox, Oy$

$A\in Ox$ nên $y_A=0$. Ta có:

$0=y_A=(2m-3)x_A-1\Rightarrow x_A=\frac{1}{2m-3}$

$B\in Oy$ nên $x_B=0$. Ta có:

$y_B=(2m-3)x_B-1=-1$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, khoảng cách từ $O$ đến $(1)$ (gọi là $d$) thỏa mãn:
$\frac{1}{d^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}$

$=(2m-3)^2+1$

Để $d_{\max}$ thì $\frac{1}{d^2}$ min hay $(2m-3)^2+1$ min 

Điều này xảy ra khi $(2m-3)^2=0$ (vô lý vì $m\neq \frac{3}{2}$)

Vậy khoảng cách max là $1$ khi $m=\frac{3}{2}$