Bài này hình như có lần làm rồi :))

Đặt `ax^3=by^3=cz^3=k^3`

`=>a=k^3/x^3,b=k^3/y^3,c=k^3/z^3`

`=>root{3}{a}+root{3}{b}+root{3}{c}=k/x+k/y+k/z=k(1/x+1/y+1/z)=k(1)`

`**:ax^2+by^2+cz^2=(ax^3)/x+(by^3)/y+(cz^3)/z=k^3/x+k^3/y+k^3/z=k^3(1/x+1/y+1/z)=k^3`

`=>root{3}{ax^2+by^2+cz^2}=k(2)`

`(1)(2)=>ĐPCM`

Gọi vế trái là T, vế phải là P, ta có:

\(T=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{ax^3}{y}+\frac{qx^3}{z}}\)

\(T=\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=x\sqrt[3]{a}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}=\frac{T}{x}\)

Tương tự \(\sqrt[3]{b}=\frac{T}{y};\sqrt[3]{c}=\frac{T}{z}\)

Vậy\(P=T\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=T\)

đây là câu hỏi của bạn mình nhờ đăng thôi 

giả thiết: ax³ = by² = cz³ và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Rightarrow x,y,z\ne0\)^. Vì vậy, ta có:

\(ax^2=\frac{by^3}{x}=\frac{cz^2}{x}\)

\(by^2=\frac{cz^3}{y}=\frac{ax^3}{y}\)

\(cz^2=\frac{ax^3}{z}=\frac{by^3}{z}\)

\(\Rightarrow2\left(ax^2+by^2+cz^2\right)=ax^3\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+by^3\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)+cz^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

\(\Rightarrow2ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=2ax^3\)(Rút ax³ làm thừa số chung)

\(\Rightarrow ax^3+by^3+cz^3=ax^3\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=x\sqrt[3]{a}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}\right)\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\sqrt[3]{a}\)(1)

Tương tự, ta có:

\(\left(\frac{1}{y}\right)\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\sqrt[3]{b}\)(2)

\(\left(\frac{1}{z}\right)\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\sqrt[3]{c}\)(3)

Ta cộng (1) + (2) + (3) lại, ta có: 

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)

Đây mà là ngữ văn lớp 1 á?

ngữ văn ko phải toán ko giải dc với đây là toán lớp 6 nha

ĐẶT: T= \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}=\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=x\sqrt[3]{a}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}=\frac{T}{x}\)
tuowng tự ta đc \(\sqrt[3]{b}=\frac{T}{y};\sqrt[3]{c}=\frac{T}{z}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\frac{T}{x}+\frac{T}{y}+\frac{T}{z}=T\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=T\left(dpcm\right)\)

cám ơn  bạn nha!

Đặt:  \(ax^3=by^3=cz^3=k\)    và do    \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)  nên

\(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}\)

\(=\sqrt[3]{k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{k}\)

\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{\frac{k}{x^3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{y^3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{z^3}}\)

\(=\sqrt[3]{k}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\sqrt[3]{k}\)

suy ra:đpcm

Có: A= \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}\) = \(\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}\) = \(\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\) 

= \(\sqrt[3]{ax^3}\) = \(\sqrt[3]{a}x\) =>\(\sqrt[3]{a}\) =\(\frac{A}{x}\)

Tương tự : \(\sqrt[3]{b}=\frac{A}{y}\)   ,    \(\sqrt[3]{c}=\frac{A}{z}\)

=> \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\) = \(\frac{A}{x}+\frac{A}{y}+\frac{A}{z}\) = A \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) = A

hay \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\) = \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}\)

Đặt \(Q=\sqrt[3]{ax^{2\:}+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}\)

\(=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{ax^3}{y}+\frac{ax^3}{z}}=\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{ax^{3\:}}=x\sqrt[3]{a}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}=\frac{Q}{x}\)

Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{b}=\frac{Q}{y}\\\sqrt[3]{c}=\frac{Q}{z}\end{cases}}\)

\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\frac{Q}{x}+\frac{Q}{y}+\frac{Q}{z}=Q\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=Q\)

Vậy....

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\(ax^2+by^2+cz^2=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(VT=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)

\(\ge\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\cdot ax^2}+\sqrt[3]{\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{y}\cdot by^2}+\sqrt[3]{\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{z}\cdot cz^2}\right)^3\)

\(=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3=VP\)

Do \(ax^2=by^2=cz^2\) nên đẳng thức có xảy ra 

Thắng Nguyễn - Trang của Thắng Nguyễn - Học toán với OnlineMath cosi chỉ dùng cho số không âm thôi nhé. Ở đây không có cho x, y, z, a, b, c không âm nha. Nên không dùng cosi được nhé.