Để d1 // d2 khi \(\hept{\begin{cases}m^2-1=5-m\\m+2\ne2m+5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2+m-6=0\\m\ne-3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=2;m=-3\\m\ne-3\end{cases}}\Leftrightarrow m=2\)

Tình cờ hay cố ý mà dữ liệu bài toán có rất nhiều sự trùng hợp dẫn đến lời giải rất dễ dàng:

\(M\in d_1\Rightarrow y_M=\left(m^2+1\right)x_M-2\Rightarrow y_M+2=\left(m^2+1\right)x_M\)

\(\Rightarrow A=2020\left(m^2+1\right)x_M^2\ge0\)

\(A_{min}=0\) khi \(m=0\)

Khi đó điểm M là \(M\left(0;-2\right)\)

b: Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì m-1=15

hay m=16

b: Để hai đường song song thì m^2-1=1 và -m^2+3=5

=>m^2=2 và -m^2=2

=>\(m=\pm\sqrt{2}\)

c: Vì (d2) vuông góc với (d3)

và (d1)//(d2)

nên (d1) vuông góc với (d3)

Lời giải:

Xét (d1)

\(y=4mx-(m+5)\)

\(\Leftrightarrow m(4x-1)-(5+y)=0\)

Để pt đúng với mọi $m$ thì:

\(\left\{\begin{matrix} 4x-1=0\\ 5+y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{4}\\ y=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy điểm A cố định khi m thay đổi là \(\left(\frac{1}{4}; -5\right)\)

Xét (d2)

\(y=(3m^2+1)x+(m^2-9)\)

\(\Leftrightarrow m^2(3x+1)+(x-y-9)=0\)

Để pt đúng với mọi m thì \(\left\{\begin{matrix} 3x+1=0\\ x-y-9=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{3}\\ y=\frac{-28}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy điểm B cố định khi m thay đổi là \(\left(\frac{-1}{3}; \frac{-28}{3}\right)\)

Như vậy ta có đpcm.

\(BA=\sqrt{(-\frac{1}{3}-\frac{1}{4})^2+(\frac{-28}{3}+5)^2}=\frac{\sqrt{2753}}{12}\)

a: 

b: Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-2=x+1\\y=x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-x=2+1\\y=x+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x=3\\y=x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Thay x=3/2 và y=5/2 vào (d3), ta được:

\(2m+3\cdot\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{5}{2}\)

=>\(2m+\dfrac{7}{2}=\dfrac{5}{2}\)

=>\(2m=-1\)

=>m=-1/2

c: (d3): y=2m+3x-1

=>y=m*2+3x-1

Tọa độ điểm mà (d3) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2=0\left(vôlý\right)\\y=3x-1\end{matrix}\right.\)

=>(d3) không đi qua cố định bất cứ điểm nào

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\left(m-1\right)x-m^2-2m=\left(m-2\right)x-m^2-m+1\)

\(\Leftrightarrow x=m+1\)

\(\Rightarrow y=\left(m-1\right)\left(m+1\right)-m^2-2m=-2m-1\)

\(\Rightarrow Q\left(m+1;-2m-1\right)\)

Mà \(2x_Q+y_Q=2m+2-2m-1=1\) \(\forall m\)

\(\Leftrightarrow y_Q=-2x_Q+1\) \(\forall m\)

\(\Rightarrow Q\) luôn thuộc đường thẳng cố định \(y=-2x+1\)